高三學生的月考有助于檢驗復習效果，考生一定要加以重視。今天，學習啦小編為大家整理了高三數學月考試題。

　　高三數學月考試題一、選擇題

　　(本大題共有12道小題，每小題5分，共60分)

　　1.已知集合 , ,則 ( B )

　　A. B. C. D.

　　2. 下列函數中既是奇函數，又在 上單調遞增的是 ( C )

　　A. B. C. D.

　　3. 給出兩個命題:命題 命題“存在 ”的否定是“任意 ”;命題 ：函數 是奇函數. 則下列命題是真命題的是( C )

　　A. B. C. D.

　　4.若函數f(x)=x2-ax- a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實數a等于( D )

　　A.-1 B.1 C.-2 D. 2

　　5 已知函數 是函數 的導函數，則 的圖象大致是( A )

　　A. B. C. D.

　　6.已知命題p：x2+2x-3>0;命題q：x>a，且 的一個充分不必要條件是 ，則a的取值范圍是 (　B　)

　　A.(-∞，1]　　　B.[1，+∞) C.[-1，+∞)　　D.(-∞，-3]

　　7.7. 已知函數f(x)=mx2+(m-3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側，則實數m的取值范圍是 (　 B　)

　　A.(0，2) B.(-∞，1] C.(-∞，1) D.(0，2]

　　8.若f(x)=ax，x>1，4-a2x+2，x≤1是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為(　C )

　　A.(1，+∞) B.(4，8) C.[4，8) D.(1，8)

　　9. 已知函數y=f(x)是定義在R上的偶函數，且當 時，不等式 成立，若a=30.2 f(30.2)，b= (logπ2) f(logπ2)， c= f ，則 ， ， 間的大小關系 (　 A )

　　A. B. C. 　 　D.

　　10. 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，+∞)上單調遞增.若實數a滿足f( )+f( )≤2f(2)，則a的取值范圍是(　D)

　　A.(-∞，4] B. (0，4] C. D.

　　11.(文)已知 是奇函數，則 ( A )

　　A..14 B. 12 C. 10 D.-8

　　11. (理)若函數 的大小關系是 (C )

　　A. B.

　　C. D.不確定

　　12.已知函數y=f(x)為奇函數，且 對定義域內的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).當x∈(2，3)時，f(x)=log2(x-1).給出以下4個結論：其中所有正確結論的為 ( A )

　?、俸瘮祔=f(x)的圖象關于點(k，0)(k∈Z)成中心對稱;

　?、诤瘮祔=|f(x)|是以2為周期的周期函數;

　?、酆瘮祔=f(|x|)在(k，k+1)(k∈Z)上單調遞增;

　?、墚攛∈(-1，0)時，f(x)=-log2(1-x).

　　A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④

　　高三數學月考試題二、填空題

　　(本大題共有4道小題，每小題5分,共20分)

　　13.已知實數 滿足 則 的最大值__-4_______

　　14. 已知 ，則函數 在點 處的切線 與坐標軸圍成的三角形面積為 .

　　15. 若函數 ( )滿足 且 時， ,函數 ,則函數 在區(qū)間 內零點的個數有__12_個.

　　16. 存在區(qū)間 ( )，使得 ，

　　則稱區(qū)間 為函數 的一個“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4 個函數：

　?、?;② ;③ ; ④

　　其中存在“ 穩(wěn)定區(qū)間”的函數有②__③_ .(把所有正確的序號都填上)

　　高三數學月考試題三、解答題

　　(本大題共有5道小題，每小題12分,共60分)

　　17.(本小題滿分12分)

　　設向量 ， ，其中 ， ，函數

　　的圖象在 軸右側的第一個最高點(即函數取得最大值的點)為 ，在原點右側與 軸的第一個交點為 .

　　(Ⅰ)求函數 的表達式;

　　(Ⅱ)在 中，角A，B，C的對邊分別是 ，若 ，

　　且 ，求邊長 .

　　解：解：(I)因為 ， -----------------------------1分

　　由題意 ， -----------------------------3分

　　將點 代入 ，得 ，

　　所以 ，又因為 -------------------5分

　　即函數的表達式為 . --- ------------------6分

　　(II)由 ，即

　　又 ------------------------8分

　　由 ，知 ，

　　所以 -----------------10分

　　由余弦定理知

　　所以 ----------------------------------- -----------------12分

　　18.(文)(本小題滿分12分)為了解某市的交通狀況，現(xiàn)對其6條道路進行評估，得分分別為：5,6,7,8,9,10.規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表：

　　評估的平均得分

　　全市的總體交通狀況等級 不合格 合格 優(yōu)秀

　　(Ⅰ)求本次評估的平均得分，并參照上表估計該市的總體交通狀況等級;

　　(Ⅱ)用簡單隨機抽樣方法從這6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本的平均數與總體的平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.

　　【解析】：

　　(Ⅰ)6條道路的平均得分為 .-----------------3分

　　∴該市的總體交通狀況等級為合格. -----------------5分

　　(Ⅱ)設 表示事件“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 ”. -----7分

　　從 條道路中抽取 條的得分組成的所有基本事件為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 個基本事件. -----------------9分

　　事件 包括 ， ， ， ， ， ， 共 個基本事件，

　　∴ .

　　答：該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 的概率為 .------12分

　　18.(理)(本小題滿分l 2分)

　　在2015年全國高校自主招生考試中，某高校設 計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題.規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答;考生乙每題正確回答的概率都為23，且每題正確回答與否互不影響.

　　(I)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數的分布列，并計算其數學期望;

　　(II)試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生的通過能力.

　　解析：(I)設考生甲、乙正確回答的題目個數分別為ξ、η，則ξ的可能取值為1，2，3，P(ξ=1)=C14C22C36=15 ，P(ξ=2)=C24C12C36=35，P(ξ=3)=C34C02C36=15，

　　∴考生甲正確完成題數的 分布列為

　　ξ 1 2 3

　　P 15

　　35

　　15

　　Eξ=1×15+2×35+3×15=2. ………………………………………..4分

　　又η～B(3，23)，其分布列為P(η=k)=Ck3•(23)k•(13)3-k，k=0，1，2，3;

　　∴Eη=np=3×23=2. ………………………………………6分

　　(II)∵Dξ=(2-1)2×15+(2-2)2×35+(2-3)2×15=25，

　　Dη=npq=3×23×13=23， ∴Dξ

　　∵P(ξ≥2)=35+15=0.8，P(η≥2)=1227+827≈0.74，∴P(ξ≥2)>P(η≥2). ………………10分

　　從回答對題數的數學期望考查，兩人水平相當;從回答對題數的方差考查，甲較穩(wěn)定;從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的實驗通過能力較強.………………12分

　　19(理)在四棱錐 中， 平面 ， 是 的中點，

　　, , .

　　(Ⅰ)求證： ;

　　(Ⅱ)求二面角 的余弦值.

　　解：(Ⅰ)取 的中點 ,連接 , ,

　　則 ∥ .

　　因為

　　所以 .………………………………1分

　　因為 平面 ， 平面

　　所以

　　又

　　所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分

　　因為 平面 ,所以 ⊥ ;

　　又 ∥ ，所以 ;

　　又因為 , ;

　　所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分

　　因為 平面 ，所以 …………………… ……6分

　　(注：也可建系用向量證明)

　　(Ⅱ)以 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 .

　　則 , , ， , ,

　　， .

　　………………………………………………8分

　　設平面 的法向量為 ，則 所以

　　令 .所以 . ……………………9分

　　由(Ⅰ)知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ .

　　同理 ⊥ .所以 平面

　　所以平面 的一個法向量 . …………………10分

　　所以 ， ……………………11分

　　由圖可知，二面角 為銳角，

　　所以二面角 的余弦值為 . ……………………12分

　　19.(文)在四棱錐 中， 平面 ，

　　是 的中點， ,

　　， .

　　(Ⅰ)求證： ∥平面 ;

　　(Ⅱ)求證： .

　　證明：(Ⅰ)取 的中點 ,連接 , .

　　則有 ∥ .

　　因為 平面 ， 平面

　　所以 ∥平面 .……………………2分

　　由題意知 ,

　　所以 ∥ .

　　同理 ∥平面 .…………………4分

　　又因為 平面 , 平面 ,

　　所以 平面 ∥平面 .

　　因為 平面

　　所以 ∥平面 . ……………………………………………………………6分

　　(Ⅱ)取 的中點 ,連接 , ,則 ∥ .

　　因為 ,所以 .………………………………… ……7分

　　因為 平面 ， 平面 ，所以

　　又

　　所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分

　　因為 平面 所以 ⊥

　　又 ∥ ，所以

　　又因為 ,

　　所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分

　　因為 平面

　　所以 ………………………………………………………………12分

　　20. (本小題滿分12分) 已知橢圓 的離心率為 ，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線 相切..

　　(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;

　　(Ⅱ)若直線 與橢圓C相交于A、B兩點，且 ，判斷△AOB的面積是否為定值?若為定值，求出定值;若不為定值，說明理由.

　　【解析】：

　　(1)由題意知 ，∴ ，即 ，

　　又 ，∴ ，

　　故橢圓的方程為 4分

　　(II)設 ，由 得

　　12分

　　21.(文)已知函數 ，其中a∈R.

　　(1)當 時，求曲線 在點 處的切線的斜率;

　　(2)當 時，求函數 的單調區(qū)間與極值.

　　解：(1)當a=0時，f(x)=x2ex，f′(x)=(x2+2x)ex，故f′(1)=3e.

　　所以曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為3e. …4分

　　(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a] ex

　　令f′(x)=0，解得x=-2a，或x=a-2， …6分

　　由a≠23知，-2a≠a-2.

　　以下分兩種情況討論：

　?、偃鬭>23，則-2a

　　x (-∞，-2a) -2a (-2a，a-2) a-2 (a-2，+∞)

　　f′(x) + 0 - 0 +

　　f(x) 極大值 極小值

　　所以f(x)在(-∞，-2a)，(a-2，+∞)上是增函數，在(-2a，a-2)上是減函數.

　　函數f(x)在x=-2a處取得極大值為f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a.

　　函數f(x)在x=a-2處取得極小值為f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2. …9分

　?、谌鬭<23，則-2a>a-2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

　　x (-∞，a-2) a-2 (a-2，-2a) -2a (-2a，+∞)

　　f′(x) + 0 - 0 +

　　f(x) 極大值 極小值

　　所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)上是增函數，在(a-2，-2a)上是減函數.

　　函數f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.

　　函數f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a. …12分

　　21. (理)已知函數 ( ).

　　(1) 當 時，證明：在 上， ;

　　(2)求證： .

　　解：(1) 根據題意知，f′(x)=a1-xx (x>0)，

　　當a>0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1]，單調遞減區(qū)間為(1，+∞);

　　當a<0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，+∞)，單調遞減區(qū)間為(0,1];

　　當a=0時，f(x)不是 單調函數.

　　所以a=-1時，f( x)=-ln x+x-3， 在(1，+∞)上單調遞增，

　　所以f(x)>f(1 )，

　　即f(x)>-2，所以f(x)+2>0. …………6分

　　(2) 由(1)得-ln x+x-3+2>0，即-ln x+x-1> 0，

　　所以ln x

　　則有0

　　∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn < 12•23•34•…•n-1n=1n(n≥2，n∈N*). …12分

　　高三數學月考試題四、選考題

　　請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.

　　22.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

　　直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD.

　　(Ⅰ )求證：直線AB是⊙O的切線;

　　(Ⅱ)若tan∠CED=12，⊙O的半徑為3，求OA的長.

　　解：(1)證明：連接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥OB，又∵OC是圓的半徑，∴AB是圓的切線. ……4分

　　(2)∵ED是直徑，∴∠ECD=90°，∴∠E+∠EDC=90°，

　　又∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∠CBD=∠EBC，

　　∴△BCD∽△BEC，∴BCBE=BDBC⇒BC2=BD•BE，

　　又tan∠CED=CDEC=12，△BCD∽△BEC，BDBC=CDEC=12，

　　設BD=x，則BC=2x，∵BC2=BD•BE，∴(2x)2=x(x+6)，∴BD=2，

　　∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10分

　　23.(本題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數方程

　　已知曲線 (t為參數)， ( 為參 數).

　　(Ⅰ)化 ， 的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線;

　　(Ⅱ)過曲線 的左頂點且傾斜角為 的直線 交曲線 于 兩點，求 .

　　解：⑴

　　曲線 為圓心是 ，半徑是1的圓.

　　曲線 為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓.……4分

　　⑵曲線 的左頂點為 ，則直線 的參數方程為 ( 為參數)

　　將其代入曲線 整理可得： ，設 對應參數分別為 ，則

　　所以 ……………10分

　　24.(本小題滿分10分)選 修4—5：不等式選講

　　已知函數 ，且 的解集為 .

　　(Ⅰ)求 的值;

　　(Ⅱ)若 ，且 ，求證： .

　　解：(Ⅰ)因為 ，所以 等價于 ，…2分

　　由 有解，得 ，且其解集為 . …4分

　　又 的解集為 ，故 .…(5分)

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知

　　，又 ， …7分∴ ≥ =9.9分

　　(或展開運用基本不等式)

　　∴ ….10分

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