2017年德州數(shù)學(xué)中考模擬真題及答案(2)
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=(AD：AB)2=1：9，
故答案為：1：9.
16.，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小聰在距離旗桿10m的A處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，測(cè)角儀高AD為1m，則旗桿高BC為 10 +1 m(結(jié)果保留根號(hào)).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題.
【分析】首先過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，則AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函數(shù)的知識(shí)求得BE的長(zhǎng)，繼而求得答案.
【解答】解：，過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，則AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE•tan60°=10 (m)，
∴BC=CE+BE=10 +1(m).
∴旗桿高BC為10 +1m.
故答案為：10 +1.
17.，點(diǎn)D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)，B在⊙A上，BD是⊙A的一條弦.則sin∠OBD= .
【考點(diǎn)】圓周角定理;勾股定理;銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】連接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根據(jù)點(diǎn)D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出sin∠OBD.
【解答】解：∵D(0，3)，C(4，0)，
∴OD=3，OC=4，
∴CD=5，
連接CD，
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD= = .
故答案為： .
18.，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=1，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是 .
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);勾股定理.
【分析】延長(zhǎng)FP交AB于M，得到FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FM，根據(jù)折疊的性質(zhì)QC PF，計(jì)算即可.
【解答】解：，延長(zhǎng)FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得，F(xiàn)M= ，
由折疊的性質(zhì)可知，F(xiàn)P=FC=1，
∴PM= ，
故答案為： .
三、解答題(本大題共有10小題，共84分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟)
19.計(jì)算：
(1)﹣|﹣1|+ •cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0.
(2)(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)
【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式;完全平方公式;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)先算絕對(duì)值，二次根式，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，再相加即可求解;
(2)先根據(jù)完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可求解.
【解答】解：(1)﹣|﹣1|+ •cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0
=﹣1+2 × ﹣4+1
=﹣1+3﹣4+1
=﹣1;
(2)(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)
=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2
=﹣xy+3y2.
20.(1)解方程：x2+3x﹣2=0;
(2)解不等式組： .
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法;解一元一次不等式組.
【分析】(1)求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可;
(2)先求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出即可.
【解答】解：(1)x2+3x﹣2=0，
∵b2﹣4ac=32﹣4×1×(﹣2)=17，
∴x= ，
x1= ，x2=﹣ ;
(2)
∵解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x>5，
∴不等式組的解集為：x>5.
21.已知：，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊CD、AD的中點(diǎn)，連接AE，CF，求證：△ADE≌△CDF.
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);全等三角形的判定.
【分析】由菱形的性質(zhì)得出AD=CD，由中點(diǎn)的定義證出DE=DF，由SAS證明△ADE≌△CDF即可.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵點(diǎn)E、F分別為邊CD、AD的中點(diǎn)，
∴AD=2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，
在△ADE和△CDF中， ，
∴△ADE≌△CDF(SAS).
22.某學(xué)校為了解八年級(jí)學(xué)生的體能狀況，從八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行八百米跑體能測(cè)試，測(cè)試結(jié)果分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題：
(1)求本次測(cè)試共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)求本次測(cè)試結(jié)果為B等級(jí)的學(xué)生數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)八年級(jí)共有900名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)八年級(jí)學(xué)生中體能測(cè)試結(jié)果為D等級(jí)的學(xué)生有多少人?
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖;用樣本估計(jì)總體;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)設(shè)本次測(cè)試共調(diào)查了x名學(xué)生，根據(jù)總體、個(gè)體、百分比之間的關(guān)系列出方程即可解決.
(2)用總數(shù)減去A、C、D中的人數(shù)，即可解決，畫出條形圖即可.
(3)用樣本估計(jì)總體的思想解決問(wèn)題.
【解答】解：(1)設(shè)本次測(cè)試共調(diào)查了x名學(xué)生.
由題意x•20%=10，
x=50.
∴本次測(cè)試共調(diào)查了50名學(xué)生.
(2)測(cè)試結(jié)果為B等級(jí)的學(xué)生數(shù)=50﹣10﹣16﹣6=18人.
條形統(tǒng)計(jì)圖所示，
(3)∵本次測(cè)試等級(jí)為D所占的百分比為 =12%，
∴該中學(xué)八年級(jí)共有900名學(xué)生中測(cè)試結(jié)果為D等級(jí)的學(xué)生有900×12%=108人.
23.在一個(gè)不透明的袋子中裝有白色、黃色和藍(lán)色三種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中白球有2個(gè)，藍(lán)球有1個(gè).現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)小球是白球的概率是 .
(1)袋子中黃色小球有 1 個(gè);
(2)如果第一次任意摸出一個(gè)小球(不放回)，第二次再摸出一個(gè)小球，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表格的方法求兩次都摸出白球的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】(1)應(yīng)先根據(jù)白球的個(gè)數(shù)及概率求得球的總數(shù)，減去白球和藍(lán)球的個(gè)數(shù)即為黃球的個(gè)數(shù);
(2)用樹(shù)狀圖列舉出所有情況，看兩次都摸出白球的情況占總情況的多少即可.
【解答】解：(1)黃球個(gè)數(shù)=2÷ ﹣2﹣1=1;
(2)
共有12種情況，兩次都摸出白球的情況有2種，所以概率是 .
24.某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺(tái)GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù).已知每臺(tái)GH型產(chǎn)品由4個(gè)G型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成.工廠現(xiàn)有80名工人，每個(gè)工人每天能加工6個(gè)G型裝置或3個(gè)H型裝置.工廠將所有工人分成兩組同時(shí)開(kāi)始加工，每組分別加工一種裝置，并要求每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產(chǎn)品.
(1)按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品?
(2)為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)，工廠決定補(bǔ)充一些新工人，這些新工人只能獨(dú)立進(jìn)行G型裝置的加工，且每人每天只能加工4個(gè)G型裝置.請(qǐng)問(wèn)至少需要補(bǔ)充多少名新工人?
【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用;一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)有x名工人加工G型裝置，則有(80﹣x)名工人加工H型裝置，利用每臺(tái)GH型產(chǎn)品由4個(gè)G型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成得出等式求出答案;
(2)設(shè)招聘a名新工人加工G型裝置，設(shè)x名工人加工G型裝置，(80﹣x)名工人加工H型裝置，進(jìn)而利用每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產(chǎn)品得出等式表示出x的值，進(jìn)而利用不等式解法得出答案.
【解答】解：(1)設(shè)有x名工人加工G型裝置，
則有(80﹣x)名工人加工H型裝置，
根據(jù)題意， = ，
解得x=32，
則80﹣32=48(套)，
答：每天能組裝48套GH型電子產(chǎn)品;
(2)設(shè)招聘a名新工人加工G型裝置
仍設(shè)x名工人加工G型裝置，(80﹣x)名工人加工H型裝置，
根據(jù)題意， = ，
整理可得，x= ，
另外，注意到80﹣x≥ ，即x≤20，
于是 ≤20，
解得：a≥30，
答：至少應(yīng)招聘30名新工人，
25.，某倉(cāng)儲(chǔ)中心有一斜坡AB，其坡度為i=1：2，頂部A處的高AC為4m，B、C在同一水平地面上.
(1)求斜坡AB的水平寬度BC;
(2)矩形DEFG為長(zhǎng)方體貨柜的側(cè)面圖，其中DE=2.5m，EF=2m，將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送，當(dāng)BF=3.5m時(shí)，求點(diǎn)D離地面的高.(結(jié)果保留根號(hào))
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題.
【分析】(1)根據(jù)坡度定義直接解答即可;
(2)作DS⊥BC，垂足為S，且與AB相交于H.證出∠GDH=∠SBH，根據(jù) = ，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的長(zhǎng)，然后求出BH=5m，進(jìn)而求出HS，然后得到DS.
【解答】解：(1)∵坡度為i=1：2，AC=4m，
∴BC=4×2=8m.
(2)作DS⊥BC，垂足為S，且與AB相交于H.
∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，
∴∠GDH=∠SBH，
∴ = ，
∵DG=EF=2m，
∴GH=1m，
∴DH= = m，BH=BF+FH=3.5+(2.5﹣1)=5m，
設(shè)HS=xm，則BS=2xm，
∴x2+(2x)2=52，
∴x= m
∴DS= + =2 m.
26.，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF.
(1)證明：∠E=∠C;
(2)若∠E=55°，求∠BDF的度數(shù);
(3)設(shè)DE交AB于點(diǎn)G，若DF=4，cosB= ，E是 的中點(diǎn)，求EG•ED的值.
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【分析】(1)直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，即可得出∠E=∠C;
(2)利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠AFD=180°﹣∠E，進(jìn)而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案;
(3)根據(jù)cosB= ，得出AB的長(zhǎng)，即可求出AE的長(zhǎng)，再判斷△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值.
【解答】(1)證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C;
(2)解：∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°;
(3)解：連接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，
∴AB=6，
∵E是 的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3 ，
∵E是 的中點(diǎn)，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴ = ，
即EG•ED=AE2=18.
27.愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.
【特例探究】
(1)1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4 時(shí)，a= 4 ，b= 4 ;
2，當(dāng)∠PAB=30°，c=2時(shí)，a= ，b= ;
【歸納證明】
(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你的結(jié)論.
【拓展證明】
(3)4，▱ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD=3 ，AB=3，求AF的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)①首先證明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.
?、谶B接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.
(2)結(jié)論a2+b2=5c2.設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問(wèn)題.
(3)取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用(2)中結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題.
【解答】(1)解：1中，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN= AB=2 ，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，
∴PN=PM=2，PB=PA=4，
∴AN=BM= =2 .
∴b=AC=2AN=4 ，a=BC=4 .
故答案為4 ，4 ，
2中，連接NM，
，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN= AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA= ，
在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，
∴PN= ，PM= ，
∴AN= ，BM= ，
∴a=BC=2BM= ，b=AC=2AN= ，
故答案分別為 ， .
(2)結(jié)論a2+b2=5c2.
證明：3中，連接MN.
∵AM、BN是中線，
∴MN∥AB，MN= AB，
∴△MPN∽△APB，
∴ = = ，
設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，
b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.
(3)解：4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，
同理可證△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四邊形CEPF是平行四邊形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由(2)可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF= AD= ，
∴9+AF2=5×( )2，
∴AF=4.
28.，已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C
(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)E是此拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)F是其對(duì)稱軸上的點(diǎn)，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積;
(3)此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM是等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)分別令y=0，x=0，即可解決問(wèn)題.
(2)由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，分E點(diǎn)為拋物線上的普通點(diǎn)和頂點(diǎn)2種情況討論，即可求出平行四邊形的面積.
(3)分A、C、M為頂點(diǎn)三種情形討論，分別求解即可解決問(wèn)題.
【解答】解：(1)令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，
∴x2+2x﹣8=0，
x=﹣4或2，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)(2，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)(﹣4，0)，
令x=0，得y=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)(0，2).
(2)由圖象①AB為平行四邊形的邊時(shí)，
∵AB=EF=6，對(duì)稱軸x=﹣1，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣7或5，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)(﹣7，﹣ )或(5，﹣ )，此時(shí)點(diǎn)F(﹣1，﹣ )，
∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積=6× = .
②當(dāng)點(diǎn)E在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E(﹣1， )，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為M，令EM與FM相等，則四邊形AEBF是菱形，此時(shí)以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積= ×6× = .
(3)所示，①當(dāng)C為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，CN= = ，
∴點(diǎn)M1坐標(biāo)(﹣1，2+ )，點(diǎn)M2坐標(biāo)(﹣1，2﹣ ).
?、诋?dāng)M3為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，∵直線AC解析式為y=﹣x+2，
∴線段AC的垂直平分線為y=x與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M3(﹣1.﹣1)，
∴點(diǎn)M3坐標(biāo)為(﹣1，﹣1).
③當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)的三角形不存在.
綜上所述點(diǎn)M坐標(biāo)為(﹣1，﹣1)或(﹣1，2+ )或(﹣1，2﹣ ).
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