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　　大學高數(shù)論文范文篇二：《第二型曲面積分化為二重積分計算》

　　摘要：第二型曲面積分屬于向量函數(shù)的積分，在流體力學和電磁學等領域有極為廣泛的運用。所以，正確選擇計算第二型曲面積分的方法對解決問題有著很大的幫助。一般的書本都介紹的主要通過將其轉化為二重積分或利用高斯公式計算。第二型曲面積分和二重積分有著密切的關系，這里介紹將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法。并且希望大學生能夠培養(yǎng)對高等數(shù)學的愛好，努力鉆研高等數(shù)學。

　　關鍵詞：第二型曲面積分、二重積分、轉換、計算、鉆研高等數(shù)學

　　正文：

　　1.第二型曲面積分定義：

　　設為光滑的有向曲面，函數(shù)R(x,y,z)在上有界，把任意分割成n塊小曲面Si(i1,2,,n)(Si同時表示第i小塊曲面的面積), Si在xoy坐標面上的投影為(Si)xy,(i,i,i)Si ,若當各小塊曲面的直徑的最大值0時，lim,Ri(i0i1niR(x,y,z)在有向曲面上對坐標x,y的,S)(i存在。則稱此極限值為xy)

　　曲面積分(或第二型曲面積分).記作R(x,y,z)dxdy。

　　

　　2.將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法：

　?、俚诙颓娣e分P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy可化為三個第二型

　　

　　曲面積分來計算：I1P(x,y,z)dydz,I

　　2Q(x,y,z)dzdx,I3R(x,y,z)dxdy。 

　　這就必須把曲面分別投影到y(tǒng)Oz、zOx、xOy面上，再分別按照前側為正后側為負、右側為正左側為負、上側為正下側為負的規(guī)則再次分解。這樣一來就需要六個式子來計算一個第二型曲面積分，運算量相當大且容易出錯。

　　例：.計算下列閉曲面上的曲面積分(積分沿區(qū)域 之邊界曲面  的外側)：

　　xzdydz(x3y3)dzdx(x3y3)dxdy，其中

　　(x,y,z)|x2y21,x0,y0,0z1; 

　　解：在曲面上x0,y0,z0及z1部分的S上xzdydz

　　S0，所以

　　xzdydz

　　Dyz

　　

　　zydydzzdz

　　2

　　

　　3

　　11

　　y2dy

　　

　　8

　　.

　　在曲面上x0,z0及z1部分的S上

　　x

　　S

　　z3dzdx0，所以

　　

　　

　　

　　3

　　xydzdxxdzdxx1x2

　　DxzDxz

　　3

　　3

　　

　　

　　3

　　

　　3

　　2dzdx

　　

　　3

　　. 16

　　在曲面上x0,y0及x2y21部分的S上

　　x

　　S

　　3

　　y3dxdy0，所以

　　

　　x

　　

　　3

　　y3dxdy

　　5. 16

　　

　　Dxy

　　x

　　3

　　y3dxdy

　　

　　Dxy

　　x

　　3

　　y3dxdy0，

　　

　　 原式 

　?、谙葘⒌诙颓娣e分轉化為第一型曲面積分：

　　AdS

　　

　　(PcosQcosRcos)dS

　　

　　cos

　　zx

　　22

　　zxzy

　　,cos

　　zy

　　22

　　zxzy

　　,cos

　　1

　　22

　　zxzy

　　再將第一型曲面積分轉化為二重積分： 若在xOy面：

　　

　　

　　fx,y,zdS

　　Dxy

　　

　　22

　　x,yzyx,ydxdy fx,y,zx,yzx

　　yOz，xOz面上以此類推。

　　最后利用二重積分計算得出結果。

　　較第一種方法，此方法更加靈活多變，在計算中可以省很多力氣。 例：計算曲面積分：

　　

　　S

　　z(x2y2)(dydzdxdz)，其中 S 為球面 x2y2z2R2

　　在第一、四卦限(x0，z0)的部分，積分沿S的上側; 解：S的單位正法向為

　　xyzn,,

　　222

　　x2y2z2x2y2z2xyz

　　

　　01

　　x,y,z.

　　R

　　

　　22

　　dydzdxdzzxyS

　　

　　12222

　　zxy,zxy,0x,y,zdS RS

　　

　　

　　

　　1

　　zx2y2xydS. RS

　　

　　z

　　R2x2y2，zx

　　xRxyR

　　2

　　2

　　2

　　，zy

　　yRxy

　　2

　　2

　　2

　　.

　　22

　　dSzxzydxdy

　　Rxy

　　222

　　dxdy.

　　原式

　　1R

　　R2x2y2x2y2xydxdy RDxyR2x2y2

　　

　　

　　2d

　　2

　　R

　　2R5

　　. cossind5

　　3

　　總結：

　　利用向量形式計算第二型曲面積分直接將第二型曲面積分轉化為一個二重積分計算,避免了傳統(tǒng)計算方法對曲面?zhèn)鹊呐卸?，其顯著優(yōu)點是物理意義明確,計算過程簡單,適用于所有的第二型曲面積分的計算。但是，計算時要不斷地總結，學會根據題型的變化來選擇方法，尋求更加簡便的方法，不能一味的追求某一種。

　　而且，高等數(shù)學這門科學是博大精深的，要不斷的學習研究才能領悟得更多。就自身而言，要抱著謙虛謹慎的態(tài)度，努力鉆研高數(shù)，希望能夠參透高等數(shù)學的一角。

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