八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)練答案
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八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)練答案(一)
矩形的判定
【優(yōu)效自主初探】
自主學(xué)習(xí)
(1)①證明：在□ABCD中，AB=CD.
因?yàn)锳C= BD，BC=CB，
所以△ABC≌△DCB.
?、谠谄叫兴倪呅蜛BCD中，AB∥CD，
所以∠ABC+∠DCB=180°.
因?yàn)椤鰽BC≌△DCB，
所以∠ABC=∠DCB，
所以∠ABC=90°.
?、墼谄叫兴倪呅蜛BCD中，因?yàn)?ang;ABC=90°，
所以四邊形ABCD是矩形.
(2)①90°
?、谄叫?/p>
③是矩形，由矩形的定義可得.
歸納：矩形的判定方法。
(1)有一個(gè)角是直角的四邊形是平行四邊形 。
(2)對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是平行四邊形。
(3)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。
【高效合作交流】
[例1]思路探究：
(1)因?yàn)?ang;BAD=∠CAE，
所以∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC，
所以∠BAE=∠CAD.
又因?yàn)锳E=AD.AB=AC，
所以△BAE≌△CA D.
(2)因?yàn)椤鰾AE≌△CAD，
所以BE=CD.
又因?yàn)镈E=BC，
所以四邊形BCDE是平行四邊形.
(3)因?yàn)椤鰾AE≌△CAD，
所以∠BEA=∠CDA.
因?yàn)锳E=AD，
所以∠AED=∠ADE.
所以∠BED=∠CDE.
證明：因?yàn)?ang;BAD=∠CAE，
所以∠BAD =BAC=∠CAE -∠BAC，
所以∠BAE=∠CAD.
因?yàn)锳E=AD，AB=AC，
所以△BAE≌△CAD(SAS).
所以∠BEA=∠CDA，BE =CD.
又因?yàn)镈E=BC，
所以四邊形BCDE是平行四邊形.
因?yàn)锳E=AD，
所以∠AED=∠ADE.
因?yàn)?ang;BEA =∠CDA，
所以∠BED=∠CDE.
因?yàn)樗倪呅蜝CDE是平行四邊形，
所以BE∥CD，
所以∠BED+∠CDE= 180°，
所以∠BED =∠CDE=90°，
所以四邊形BCDE是矩形.
[針對(duì)訓(xùn)練]1
(1)證明：因?yàn)锽E⊥AC，DF⊥AC，
所以∠BEO-∠DF0=90°.
因?yàn)辄c(diǎn)O是EF的中點(diǎn)，
所以O(shè)E=OF.
又因?yàn)?ang;DOF=∠BOE，
所以△BOE≌△DOF (ASA).
(2)解：四邊形ABCD是矩形，理由如下：
因?yàn)椤鰾OE≌△DOF，
所以O(shè)B=OD.
又因?yàn)镺A=OC，
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
因?yàn)镺A=1/2BD,OA=1/2AC，
所以BD=AC，
所以平行四邊形ABCD是矩形.
[例2]思路探究：
(1)直角
(2)⊥
(3)因?yàn)锳B=AC=5，BC=6，AD是BC的中線(xiàn)，
所以BD=DC==6×1/2=3，AD⊥BC.
在Rt△ACD中，
(1)證明：因?yàn)锳B=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，
所以AD⊥3C，
所以∠ADB=90°，
因?yàn)樗倪呅蜛DBE是平行四邊形，
所以平行四邊形ADBE是矩形.
(2)解：因?yàn)锳B=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線(xiàn)，
所以BD=DC=6×1/2=3.
在Rt△ACD中.
所以S矩形ADBE=BD∙AD=3×4=12.
[針對(duì)訓(xùn)練]2、6
達(dá)標(biāo)檢測(cè)
1、D
2、D
3、(2，)
4、證明：因?yàn)樗倪呅蜛BDE是平行四邊形，
所以AE∥BD，AB=DF，AE=BD.
因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，
所以CD=BD，
所以CD∥AE，CD=AE，
所以四邊形ADCF是平行四邊形.
因?yàn)锳B=AC.D為BC的中點(diǎn)，
所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，
所以平行四邊形ADCE是矩形.
【增效提能演練】
1、D
2、C
3、AB=AD
4、證明：
(1)因?yàn)锽E=CF，BF =BE+EF .CE=CF+EF，
所以BF=CE.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以AB=DC,又因?yàn)锳F=DE.
所以△ABF≌△DCE( SSS).
(2)因?yàn)椤鰽BF≌△DCF,所以∠B=∠C.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形.所以AB∥CD.
所以∠B=∠C=180°.
所以∠B=∠C=90°，
所以四邊形ABCD是矩形.
5、解答。
解：
(1)BD=CD.理由如下：
因?yàn)锳F∥BC，
所以∠AFE=∠DCE.
因?yàn)镋是以AD的中點(diǎn).
所以AE=DE.
又因?yàn)?ang;AEF=∠DEC，
所以△AEF≌△DEC(AAS).
所以AF=CD.
因?yàn)锳F=BD,
所以BD=CD.
(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形， 理由如下：
因?yàn)锳F∥BD，AF=BD,
所以四邊形AFBD是平行四邊形.
因?yàn)锳B=AC，BD=CD，
所以∠ADB=90°，
所以□AFBD是矩形.
6、解：四邊形PEMF為矩形，理由如下：
因?yàn)镻E∥/MB，PF∥MC，
所以四邊形PEMF為平行四邊形。
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，因?yàn)辄c(diǎn)M是邊AD的中點(diǎn)
所以AM=DM=1/2AD.
因?yàn)锳B：AD=1：2，
所以AB=CD=AM=DM，
所以∠ABM=∠AMB，∠DMC=∠DCM.
因?yàn)锳D∥CB，
所以∠CBM=∠AMB，∠DMC=∠BCM，
所以∠CBM=∠ABM=1/2∠ABC，∠DCM=∠BCM=1/2∠DCB.
因?yàn)锳B∥CD.
所以∠ABC十∠DCB=-180°，
所以∠CBM+∠BCM=90，
所以∠BMC=90°，
所以平行四邊形PEMF為矩形.
7、解答。
證明：
(1)因?yàn)镃N∥AB，
所以∠DAC=∠NCA.
又因?yàn)镸A=MC，∠AMD=∠CMN，
所以△AMD≌△CMN(AAS)，
所以AD=CN.
又因?yàn)锳D∥CN，
所以四邊形ADCN是平行四邊形，
所以CD=AN.
(2)因?yàn)?ang;ACM=2∠MCD，∠AMD=∠MMCD+∠MDC，
所以∠MCD=∠MDC.
所以MD=MC.
由(1)，知四邊形ADCN是平行四邊形.
所以MD=MN=MA=MC，
所以AC=DN，
所以四邊形ADCN是矩形.
8、(1)證明：如答圖18.2.2-1;因?yàn)镸N交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F，
所以∠2=∠5.∠4=∠6.
因?yàn)镸N∥BC，
所以∠1=∠5，∠3=∠6，
所以∠l=∠2，∠3=∠4，
所以EO=CO,FO=CO，
所以0E=OF.
答圖18. 2.2一l
(2)解：因?yàn)?ang;2=∠5，∠4=∠6，
所以∠2+∠4=∠5+∠6=90°.
因?yàn)镃E==12，CF=5，
所以O(shè)C=1/2EF=6.5.
(3)解：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形。理由如下：
當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO
因?yàn)镋O=FO,
所以四邊形AECF是平行四邊形.
因?yàn)?ang;ECF=90°，
所以平行四邊形AECF是矩形.
因?yàn)镋P=FO;
所以四邊形AECF是平行四邊形.
因?yàn)?ang;FCF=90°，
所以□AFCF是矩形.
八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)練答案(二)
菱形的性質(zhì)
【優(yōu)效自主初探】
自主學(xué)習(xí)
1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
2、(1)CD、AD 、 CD、AD
歸納：菱形的四條邊都相等。
(2)OC、⊥、∠ABC、∠ADC、∠BAD、∠BCD
歸納：菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.
3、1/2a、AO、1/4ab、1/2ab
4、(1)70°
(2)6 cm²
【高效合作交流】
[例]思路探究：
(1)在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
所以△ABD為等邊三角形.
(2)因?yàn)椤鰽BD為等邊三角形;
所以BD=AB=4.
又因?yàn)镺為BD的中點(diǎn).
所以O(shè)B=2。
解：
(1)在菱形ABCD中.AB==AD.∠A=60°，
所以△ABD為等邊三角形，
所以∠ABD= 60°.
(2)由(1)，知 BD=AB=4.
因?yàn)?為BD的中點(diǎn)，
所以O(shè)B=2.
又因?yàn)镺E⊥AB，∠ABD=60°，
所以∠BOE=30°.
所以BE=1/2OB=1
[針對(duì)訓(xùn)練]1
證朋：因?yàn)榈冗吶切蜟FF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，
所以BC=CE.
所以∠B=∠BEC.
同理∠D=∠CFD.
又因?yàn)?ang;B=∠D
所以∠BEC=∠CFD.
因?yàn)椤鰿EF為等邊三角形，
所以∠CEF=∠CFE.
因?yàn)?#8710;CEF為等邊三角形，
所以∠CEF=∠CFE.
因?yàn)?ang;BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，
所以∠AEF=∠AFE.
[例2]思路探究：SAS、SSS、∠EAC、∠FAC、SAS
證明：因?yàn)锳C是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，
所以∠EAC=∠FAC.
又因?yàn)锳E=AF，AC=AC，
所以∆ACE≌∆ACF(SAS).
[針對(duì)訓(xùn)練]2
解：DE=DF. 證明過(guò)程如下：
如答圖12.2.3-1，連接BD.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
所以∠CBD=∠ABD.
因?yàn)镈F⊥BC，DE⊥AB，
所以∠DFB=∠DEB=90°.
又因?yàn)镈B=DB，
所以∆DFB≌∆DEB(AAS)，
所以DE=DF.
答圖12.2.3-1
達(dá)標(biāo)檢測(cè)
1、D
2、C
3、A
4、12/5
5、證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
所以AB=BC，∠A=∠C，
又因?yàn)锳F= CE，
所以△ABF≌△CBE( SAS)，
所以BE=BF.
【增效提能演練】
1、C
2、B
3、B
4、A
5、(3，4)
6、解答。
(1)解：△.ADC≌△ABC;△GFC≌△EFC.
(2)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形CEFG是菱形，
所以DC=BC,CG=CE, ∠DCA=∠BCA, ∠GCF=∠ECF.
因?yàn)辄c(diǎn)A，C，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上，
所以∠ACF=180°，
所以∠DCG=∠BCE.
所以△DCG≌△FCF.
所以BE=DG.
7、解答。
(1)證明：如答圖18.2.3-3，連接AC.
因?yàn)锽D，AC.是菱形ABC,D.的對(duì)角線(xiàn)，
所以BD垂直平分AC.
所以AE=EC,.
(2)解：點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，
又因?yàn)?ang;ABC=60°，
所以△ABC是等邊三角形，
所以∠BAC=60°
所以AE=EC，
又因?yàn)?ang;EAC+∠ECA=∠CEF=60°，
所以∠EAC=1/2∠CEF=30°
所以AF是△ABC的角平分線(xiàn)，
所以AF是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn).
9、解答。
(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
所以AB=AD，∠BAC=∠DAC.
又因?yàn)镋F⊥AC，
所以∠AOE=∠AOM=90°.
又因?yàn)锳O=AO，
所以△AOE≌△AOM，
所以AE=AM.
因?yàn)锳M = AE=1/2AD，
所以AM=DM.
(2)解：因?yàn)锳B∥CD,
所以△AEM=△F.
又因?yàn)?ang;DMF =∠AME.，∠AME=∠AEM,
所以∠DMF=∠F，
所以△DFM是等腰三角形，
所以DF=DM=(1 )/2AD.
因?yàn)镈F=2，
所以AD=4.
所以菱形ABCD的周長(zhǎng)是16.
10、解答。
(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
所以AO=CO，AD∥BC，
所以∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
所以△AOE≌△COF (ASA).
(2)解：因?yàn)?ang;BAD=60°，
所以∠DAO=1/2∠BAD=1/2×60°=30°.
因?yàn)?ang;EOD=30°.
所以∠AOE=90°-30°=60°，
所以∠AEF =180-∠DAO-∠A0E =180°-30°-60°=90°
因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，∠DAO=30°，
所以O(shè)D= 1/2AD=1/2×2=1，
所以O(shè)E=1/2AO=/2，AE=3/2.
由(1)，知CF=AE=3/2，EF=2×/2=，
在Rt△CEF中，
.
八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)練答案(三)
菱形的判定
【優(yōu)效自主初探】
自主學(xué)習(xí)
1、菱形的判定定理.
(1)OC、CD、菱形
歸納：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.
(2)平行、菱形
歸納：四條邊相等的四邊形是菱形.
2、OA=OC(注：此題答案不唯一)
【高效合作交流】
[例1]思路探究：
(1) DF、CF、10、平行四邊形
(2)因?yàn)?ang;B=90°，AB=6 cm.BC=8 cm，
證明：由平移，得CF =AD=10 cm，DF=AC，
所以四邊形ACFD是平行四邊形.
因?yàn)?ang;B=90°，AB=6 cm.BC=8 cm,
又因?yàn)锳D=10 cm，
所以AC=AD，
所以四邊形ACFD是菱形.
[針對(duì)訓(xùn)練]1
證明：
(1)在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
所以∠AEB=∠EAD.
因?yàn)锳F=AB.
所以∠ABF=∠AEB.
所以∠ABE=∠EAD.
(2)因?yàn)锳D∥BC，
所以∠ADB =∠DBE.
又因?yàn)?ang;ABE =∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
所以∠ABE=2∠ADB，
所以∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB -∠ADB=∠ADB.
所以AB=AD.
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以四邊形ABCD是菱形.
[例2]思路探究：
(1)AE=AF.理由如下：
因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為AB，AD的中點(diǎn)，
所以AE=1/2AB，
AF=1/2AD.
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
所以AB=AD，
所以AE=AF.
(2)因?yàn)榱庑蜛BCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)0，
所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，
所以O(shè)E，OF是△ABD的中位線(xiàn)，
所以O(shè)F∥AD，OF∥AB，
所以四邊形AEOF是平行四邊形.
證明：因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，
所以AE=1/2AB,AF=1/2AD，
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
所以AB=AD，所以AE=AF.
又因?yàn)榱庑蜛BCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O.
所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，
所以O(shè)E，OF是△ABD的中位線(xiàn)，
所以O(shè)E∥AD，OF∥AB.
所以四邊形AEOF是平行四邊形，
因?yàn)锳E=AF，所以四邊形AEOF是菱形.
[針對(duì)訓(xùn)練]2
解：
(1)菱形.理由：根據(jù)題意，得AE=AF=ED=DF.
所以四邊形AEDF是菱形.
(2)如答圖18.2.4-1，連接EF，因?yàn)锳E=AF，∠A=60°,
所以△EAF是等邊三角形，
所以EF=AE=8 cm.
答圖 18.2.4-1
達(dá)標(biāo)檢測(cè)
1、A
2、B
3、菱形
4、AB=BC(答案不唯一)
5、證明：因?yàn)?ang;B=60°,AB=AC，
所以∆ABC為等邊三角形，
所以AB=BC，∠ACB=∠BAC=60°，
所以∠A=CE=∠FAC=120°.
因?yàn)锳D平分∠FAC，CD平分∠ECA，
所以∠DAC=∠ACD=60°，
所以∠BAD=∠BCD=120°，∠B=∠D=60°，
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
又因?yàn)锳B=BC，
所以平行四邊形BCD是菱形.
【增效提能演練】
1、B
2、A
3、B
4、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
5、菱形
6、證明：
(1)在平行四邊形ABCD中，AB∥CD,AB =CD.
因?yàn)镕，F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn)，
所以DF=1/2DC,BE=1/2AB.
所以DF∥BE，DF=BE.
所以四邊形DEBF是平行四邊彤.
所以DE∥BF.
(2)因?yàn)锳G∥BD.
所以∠G=∠DBC=90°.
所以△DBC是直角三角形，
又因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，
所以BF=1/2DC=DF.
又因?yàn)樗倪呅蜠EBF是平行四邊形，
所以四邊形DFBF是菱形.
7、解答。
(1)證明：因?yàn)锳F∥BC，
所以∠AFE=∠DBE.
因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，
所以AE=DE.
在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE= DE.
所以△AFE≌△DBE(AAS).
所以AF=BD.
又因?yàn)锽D=DC，
所以AF=DC.
(2)解：四邊形ADCF是菱形.證明如下：
因?yàn)锳F∥BC，AF=DC，
所以四邊形ADCF是平行四邊形.
因?yàn)锳C⊥AB，AD是斜邊BC的中線(xiàn)，
所以AD= DC，
所以平行四邊形ADCF是菱形.
8、D
9、菱形
10、解答
(1)證明：由題意，知∠FDC=∠DCA=90°，
所以EF∥CA，
所以∠FEA =∠CAE.
因?yàn)锳F=CE=AE，
所以∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA.
在△EAF和△AEC中，
因?yàn)?ang;F=∠ECA.∠FEA=∠CAE,EA=AE,
所以△EAF≌△AEC( AAS)，
所以EF=CA，
所以平行四邊形ACEF是平行四邊形.
(2)解：當(dāng)∠B= 30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形，理由如下：
因?yàn)?ang;B=30°，∠ACB=90°，
所以AC=1/2AB.
因?yàn)镈E垂直平分BC，
所以BE=CE.
又因?yàn)锳E=CE，
所以CE=1/2AB，
所以AC=CE.
由(1)得四邊形ACEF是平行四邊形，
所以四邊形ACEF是菱形.
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