2016年高二數(shù)學上學期期末試卷及解析
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2016年高二數(shù)學上學期期末試卷及解析
一、選擇題(共10小題，每小題5分，滿分50分)
1.準線為x=﹣2的拋物線的標準方程為( )
A.y2=﹣8x B.y2=8x C.x2=8y D.x2=﹣8y
2.設x∈R，則x>e的一個必要不充分條件是( )
A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
3.不等式ax2+bx﹣2≥0的解集為 ，則實數(shù)a，b的值為( )
A.a=﹣8，b=﹣10 B.a=﹣1，b=9 C.a=﹣4，b=﹣9 D.a=﹣1，b=2
4.已知函數(shù)f(x)=(x﹣3)ex，則f′(0)=( )
A.2 B.﹣2 C.3 D.4
5.首項a1>0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=S12，則Sn取得最大值時n的值為( )
A.7 B.8或9 C.8 D.10
6.橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點，恰好是含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為( )
A. B. C. 或 D. 或
7.等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=( )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
8.下列命題為真命題的是( )
A.已知x，y∈R，則 是 的充要條件
B.當0
C.∀a，b∈R，
D.∃x∈R，sinx+cosx=
9.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若 ，且 ，則下列關系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2
10.已知函數(shù)f(x)=(1﹣ )ex，若同時滿足條件：
?、?exist;x0∈(0，+∞)，x0為f(x)的一個極大值點;
?、?forall;x∈(8，+∞)，f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(4，8] B.[8，+∞) C.(﹣∞，0)∪[8，+∞) D.(﹣∞，0)∪(4，8]
二、填空題(共5小題，每小題5分，滿分25分)
11.命題“∀x∈N，x2≠x”的否定是 .
12.在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，則∠C的大小為 .
13.曲線f(x)=xsin x在點( ， )處的切線方程是 .
14.已知函數(shù)f(x)的定義域為[1，+∞)，且f(2)=f(4)=1，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，則不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積是 .
15.以下幾個命題中：其中真命題的序號為 (寫出所有真命題的序號)
?、僭OA，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，| |﹣| |=k，則動點P的軌跡為雙曲線;
?、谄矫鎯龋蕉c(2，1)的距離與到定直線3x+4y﹣10=0的距離相等的點的軌跡是拋物線;<
③雙曲線 與橢圓 有相同的焦點;
?、苋舴匠?x2﹣5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0
三、解答題(共6小題，滿分75分)
16.已知命題p：∃x0∈R，使得 成立;命題q：函數(shù)y=loga(x+1)在區(qū)間(0，+∞)上為減函數(shù);
(1)若命題￢p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.
17.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列.
(Ⅰ)若 ，B=60°，求a，b，c的值;
(Ⅱ)求角B的取值范圍.
18.已知橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在此橢圓上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l過圓x2+y2+4x﹣2y=0的圓心M且交橢圓于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程.
19.數(shù)列{an}滿足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).記 .
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的通項公式及數(shù)列{anbn}的前n項和Sn.
20.一個截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬AB=4米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準向河道填土.
(1)建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼挡⑶蟪鰭佄锞€弧AB的標準方程;
(2)試求當截面梯形的下底(較長的底邊)長為多少米時，才能使挖出的土最少?
21.如圖，動點M到兩定點A(﹣1，0)、B(2，0)構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C.
(Ⅰ)求軌跡C的方程;
(Ⅱ)設直線y=﹣2x+m與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|<|PR|，求 的取值范圍.
2015-2016學年山東省淄博市高青縣高二(上)期末數(shù)學試卷(文科)
2016年高二數(shù)學上學期期末試卷參考答案與試題解析
一、選擇題(共10小題，每小題5分，滿分50分)
1.準線為x=﹣2的拋物線的標準方程為( )
A.y2=﹣8x B.y2=8x C.x2=8y D.x2=﹣8y
【考點】拋物線的標準方程.
【專題】計算題;方程思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質與方程.
【分析】先根據(jù)準線求出p的值，然后可判斷拋物線的標準方程的焦點在x軸的正半軸上進而可設拋物線的標準形式，將p的值代入可得答案.
【解答】解：由題意可知： =2，∴p=4且拋物線的標準方程的焦點在x軸的正半軸上
故可設拋物線的標準方程為：y2=2px
將p代入可得y2=8x
故選：B.
【點評】本題主要考查拋物線的標準方程，考查學生的計算能力.屬基礎題.
2.設x∈R，則x>e的一個必要不充分條件是( )
A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
【考點】必要條件.
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)必要不充分的定義即可得到結論.
【解答】解：當x>1時，滿足條件.
x<1是x>e的既不必要也不充分條件.
x>3是x>e的充分不必要條件.
x<3是x>e的既不必要也不充分條件.
故選：A.
【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用定義是解決本題的關鍵，比較基礎.
3.不等式ax2+bx﹣2≥0的解集為 ，則實數(shù)a，b的值為( )
A.a=﹣8，b=﹣10 B.a=﹣1，b=9 C.a=﹣4，b=﹣9 D.a=﹣1，b=2
【考點】一元二次不等式的解法.
【專題】不等式的解法及應用.
【分析】由不等式ax2+bx﹣2≥0的解集為 ，可得 解出即可.
【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2≥0的解集為 ，
∴
解得a=﹣4，b=﹣9.
故選：C.
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎題.
4.已知函數(shù)f(x)=(x﹣3)ex，則f′(0)=( )
A.2 B.﹣2 C.3 D. 4
【考點】導數(shù)的運算.
【專題】導數(shù)的綜合應用.
【分析】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)公式直接進行求導，然后即可求f'(0)的值.
【解答】解：∵f(x)=(x﹣3)ex，
∴f'(x)=ex+(x﹣3)ex=(x﹣2)ex，
∴f'(0)=(0﹣2)e0=﹣2，
故選：B.
【點評】本題主要考查導數(shù)的計算，要求熟練掌握常見函數(shù)的導數(shù)公式以及導數(shù)的運算法則，比較基礎.
5.首項a1>0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=S12，則Sn取得最大值時n的值為( )
A.7 B.8或9 C.8 D.10
【考點】等差數(shù)列的前n項和.
【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.
【分析】由已知條件利用等差數(shù)列前n項和公式求出a1=﹣8d，再結合題設條件推導出Sn= ，由此利用二次函數(shù)的對稱性能求出結果.
【解答】解：∵首項a1>0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5=S12，
∴ ，
解得a1=﹣8d，
∵a1>0，
∴d<0，
∴
= ，
∵d<0，
∴Sn是一個關于n的開口向下的拋物線，
∵S5=S12，
∴由二次函數(shù)的對稱性知：
當 ，即n=8或n=9時，Sn取得最大值.
故選B.
【點評】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式的應用，解題時要注意二次函數(shù)性質的合理運用，是中檔題.
6.橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點，恰好是含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為( )
A. B. C. 或 D. 或
【考點】橢圓的簡單性質.
【專題】分類討論;分析法;圓錐曲線的定義、性質與方程.
【分析】由題意可得tan30°= ，或tan60°= ，再由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值.
【解答】解：由于橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點，
是一個含60°角的菱形的四個頂點，
則tan30°= ，或tan60°= ，
當 = 時，即b= c，即有a= =2c，
由e= = ;
當 = 時，即b= c，即有a= = c，
由e= = .
可得離心率為 或 .
故選：C.
【點評】本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵.
7.等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=( )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
【考點】等比數(shù)列的性質;對數(shù)的運算性質.
【專題】計算題.
【分析】先根據(jù)等比中項的性質可知a5a6=a4a7，進而根據(jù)a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根據(jù)等比數(shù)列的性質求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5答案可得.
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10
故選B
【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質.解題的關鍵是靈活利用了等比中項的性質.
8.下列命題為真命題的是( )
A.已知x，y∈R，則 是 的充要條件
B.當0
C.∀a，b∈R，
D.∃x∈R，sinx+cosx=
【考點】特稱命題.
【專題】證明題;整體思想;綜合法;簡易邏輯.
【分析】A利用充分條件和必要條件的定義進行判斷
B利用函數(shù)的單調性進行判斷
C根據(jù)基本不等式成立的條件進行判斷
D根據(jù)三角函數(shù)的有界性進行判斷
【解答】解：A.當x=4，y=1，滿足 ，但 不成立，即 不是 的充要條件，故A錯誤，
B.當0
C.當a，b<0時， 不成立，故C錯誤，
D.sinx+cosx= sin(x+ )∈[﹣ ， ]，
∵ ∈[﹣ ， ]，∴∃x∈R，sinx+cosx= ，故D正確，
故選：D
【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，函數(shù)單調性，基本不等式以及三角函數(shù)的真假判斷，知識點較多，綜合性較強，但難度不大.
9.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若 ，且 ，則下列關系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2
【考點】余弦定理.
【專題】解三角形.
【分析】利用余弦定理表示出cosA，將已知第一個等式代入求出cosA的值，確定出A度數(shù)，再利用正弦定理化簡第二個等式，求出sinB的值，確定出B的度數(shù)，進而求出C的度數(shù)，確定出三角形ABC形狀，即可做出判斷.
【解答】解：∵b2+c2﹣a2= bc，
∴cosA= = ，
∴A=30°，
由正弦定理化簡b= a，得到sinB= sinA= ，
∴B=60°或120°，
當B=60°時，C=90°，此時△ABC為直角三角形，
得到a2+b2=c2，2a=c;
當B=120°時，C=30°，此時△ABC為等腰三角形，
得到a=c，
綜上，b=c不一定成立，
故選：B.
【點評】此題考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形與等腰三角形的性質，熟練掌握定理是解本題的關鍵.
10.已知函數(shù)f(x)=(1﹣ )ex，若同時滿足條件：
①∃x0∈(0，+∞)，x0為f(x)的一個極大值點;
?、?forall;x∈(8，+∞)，f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(4，8] B.[8，+∞) C.(﹣∞，0)∪[8，+∞) D.(﹣∞，0)∪(4，8]
【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件;利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【專題】導數(shù)的綜合應用.
【分析】求導數(shù)，由①得到 ;
由②∀x∈(8，+∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8，+∞)上的最小值大于0即可，
分別解出不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍為4
【解答】解：由于 ，則 =
令f′(x)=0，則 ，
故函數(shù)f(x)在(﹣∞，x1)，(x2，+∞)上遞增，在(x1，x2)上遞減
由于∀x∈(8，+∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8，+∞)上的最小值大于0即可，
當x2>8，即 時，函數(shù)f(x)在(8，+∞)上的最小值為 ，此時無解;
當x2≤8，即 時，函數(shù)f(x)在(8，+∞)上的最小值為 ，解得a≤8.
又由∃x0∈(0，+∞)，x0為f(x)的一個極大值點，故 解得a>4;
故實數(shù)a的取值范圍為4
故答案為 A
【點評】本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，屬于基礎題.
二、填空題(共5小題，每小題5分，滿分25分)
11.命題“∀x∈N，x2≠x”的否定是 ∃x∈N，x2=x .
【考點】命題的否定.
【專題】簡易邏輯.
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結論.
【解答】解：∵全稱命題的否定是特稱命題，
∴命題的否定是：∃x∈N，x2=x.
故答案為：∃x∈N，x2=x.
【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎.
12.在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，則∠C的大小為 .
【考點】正弦定理.
【專題】計算題;轉化思想;數(shù)形結合法;解三角形.
【分析】由已知及正弦定理可得sinB= = ，由大邊對大角可得0
【解答】解：∵BC=3，∠A= ，AC= ，
∴由正弦定理可得：sinB= = = ，
∵AC
∴B= ，
∴C=π﹣A﹣B= .
故答案為： .
【點評】本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，大邊對大角，正弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的應用，求B的值是解題的關鍵，屬于中檔題.
13.曲線f(x)=xsin x在點( ， )處的切線方程是 x﹣y=0 .
【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.
【專題】導數(shù)的概念及應用.
【分析】求導函數(shù)，求出切線的斜率，再求出切點的坐標，可得切線方程.
【解答】解：∵f(x)=xsinx，
∴f′(x)=sinx+xcosx，
∴f′( )=1，
∵f( )= ，
∴曲線f(x)=xsin x在點( ， )處的切線方程是y﹣ =x﹣ ，即x﹣y=0.
故答案為：x﹣y=0.
【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查切線方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題.
14.已知函數(shù)f(x)的定義域為[1，+∞)，且f(2)=f(4)=1，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，則不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積是 3 .
【考點】簡單線性規(guī)劃的應用.
【專題】數(shù)形結合;不等式的解法及應用.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，確定f(x)在[1，3)上是減函數(shù)，在[3，+∞)上是增函數(shù)，結合f(2)=f(4)=1，可得一個關于x，y的二元一次不等式組，畫出滿足條件的可行域，根據(jù)平面圖形，由面積公式可得答案.
【解答】解：由圖可知，f(x)在[1，3)上是減函數(shù)，在[3，+∞)上是增函數(shù)，
又f(2)=f(4)=1，f(2x+y)≤1，
所以2≤2x+y≤4，
從而不等式組為 ，作出可行域如圖所示，
其面積為S=×2×4﹣×1×2=3.
故答案為：3
【點評】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，函數(shù)的圖象與性質，平面區(qū)域的面積問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區(qū)域，然后結合有關面積公式求解.
15.以下幾個命題中：其中真命題的序號為?、邰堋?寫出所有真命題的序號)
?、僭OA，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，| |﹣| |=k，則動點P的軌跡為雙曲線;
②平面內，到定點(2，1)的距離與到定直線3x+4y﹣10=0的距離相等的點的軌跡是拋物線;<
③雙曲線 與橢圓 有相同的焦點;
?、苋舴匠?x2﹣5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0
【考點】曲線與方程.
【專題】綜合題;方程思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質與方程.
【分析】①根據(jù)雙曲線的定義知①不正確;
?、谡f明點(2，1)在直線3x+4y﹣10=0上，不滿足拋物線的定義;
?、垭p曲線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1大于0，即可判定;
?、芮蟪鲭p曲線的焦點與橢圓的焦點，即可判定.
【解答】解：①平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)k(k<|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，當0
?、谠谄矫鎯龋c(2，1)在直線3x+4y﹣10=0上，
∴到定點(2，1)的距離與到定直線3x+4y﹣10=0的距離相等的點的軌跡不是拋物線，∴②不正確;
?、垭p曲線 與橢圓 的焦點都是(± ，0)，有相同的焦點，正確;
④正確方程2x2﹣5x+a=0的可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則 ，∴0
故答案為：③④.
【點評】本題通過命題真假的判定考查橢圓、雙曲線拋物線的定義、性質和曲線的方程與方程的曲線等問題，是綜合題目.
三、解答題(共6小題，滿分75分)
16.已知命題p：∃x0∈R，使得 成立;命題q：函數(shù)y=loga(x+1)在區(qū)間(0，+∞)上為減函數(shù);
(1)若命題￢p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.
【考點】復合命題的真假.
【專題】簡易邏輯.
【分析】本題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進行判斷.
【解答】解：(1)∵命題p：∃x0∈R，使得 成立
∴￢p：∀x∈R，ax2﹣2x﹣1≤0成立
∴①a≥0時 ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立
?、谟?得a≤﹣1
(2)∵命題q：函數(shù)y=loga(x+1)在區(qū)間(0，+∞)上為減函數(shù)
∴命題q為真，實數(shù)a的取值范圍是：0
∵命題“p或q”為真，且“p且q”為假，
∴命題p、q一真一假
?、佼攑真q假時，則 ，得實數(shù)a的取值范圍，﹣1
②當p假q真時，則 ，實數(shù)a的取值范圍：無解
∴實數(shù)a的取值范圍是﹣1
【點評】本題考查的知識點是復合命題的真假判定，屬于基礎題目
17.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列.
(Ⅰ)若 ，B=60°，求a，b，c的值;
(Ⅱ)求角B的取值范圍.
【考點】等比數(shù)列的性質;余弦定理.
【專題】綜合題;等差數(shù)列與等比數(shù)列;解三角形.
【分析】(Ⅰ)利用等比數(shù)列的性質，可得b2=ac，再結合余弦定理，即可求a，b，c的值;
(Ⅱ)利用余弦定理，結合基本不等式，即可求角B的取值范圍.
【解答】解：(Ⅰ)∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b2=ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
∵B=60°
∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
聯(lián)立方程組 ，
解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
(Ⅱ) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
∵a2+c2≥2ac，∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
∴0°
【點評】本題考查等比數(shù)列的性質，考查余弦定理的運用，考查基本不等式，考查學生的計算能力，正確運用余弦定理是關鍵.
18.已知橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在此橢圓上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l過圓x2+y2+4x﹣2y=0的圓心M且交橢圓于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程.
【考點】橢圓的應用.
【專題】綜合題;壓軸題.
【分析】解：(Ⅰ)由題意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3， ，由此可求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)解法一：設A，B的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2).設直線l的方程為y=k(x+2)+1，代入橢圓C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0.因為A，B關于點M對稱.所以 .解得 ，由此可求出直線l的方程.
(Ⅱ)解法二：設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2).由題意x1≠x2且 ，① ，②
由①﹣②得 .③因為A、B關于點M對稱，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得直線l的斜率為 ，由此可求出直線l的方程.
【解答】解：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3.
在Rt△PF1F2中， ，
故橢圓的半焦距c= ，
從而b2=a2﹣c2=4，
所以橢圓C的方程為 =1.
(Ⅱ)解法一：
設A，B的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2).
已知圓的方程為(x+2)2+(y﹣1)2=5，
所以圓心M的坐標為(﹣2，1).
從而可設直線l的方程為
y=k(x+2)+1，
代入橢圓C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0.
因為A，B關于點M對稱.
所以 .
解得 ，
所以直線l的方程為 ，
即8x﹣9y+25=0.
(經檢驗，所求直線方程符合題意)
(Ⅱ)解法二：
已知圓的方程為(x+2)2+(y﹣1)2=5，
所以圓心M的坐標為(﹣2，1).
設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2).
由題意x1≠x2且 ，① ，②
由①﹣②得 .③
因為A、B關于點M對稱，
所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，
代入③得 = ，
即直線l的斜率為 ，
所以直線l的方程為y﹣1= (x+2)，
即8x﹣9y+25=0.
(經檢驗，所求直線方程符合題意.)
【點評】本題綜合考查直線和圓、橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解題，避免錯誤.
19.數(shù)列{an}滿足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).記 .
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的通項公式及數(shù)列{anbn}的前n項和Sn.
【考點】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】(法一)(I)由a1結合遞推公式可求a2，a3，a4，代入 求b1，b2，b3，b4
(II)先由(I)中求出的b1，b2，b3，b4的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列 為等比數(shù)列，進而可求bn，結合 ⇒ ，從而猜想得以證明，代入求出an•bn，進而求出前n和sn
(法二)(I) 代入遞推公式可得 ，代入可求b1，b2，b3，b4
(II)利用(I)中的遞推關系個構造數(shù)列 為等比數(shù)列，從而可求bn，sn
(法三)(I)同法一
(II)先由(I)中求出的b1，b2，b3，b4的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列bn+1﹣bn為等比數(shù)列，仿照法一再證明猜想，根據(jù)求通項的方法求bn，進一步求sn
【解答】解：法一：
(I)a1=1，故 ; ，
故 ; ，
故 ; ，
故 .
(II)因 ，
故猜想 是首項為 ，公比q=2的等比數(shù)列.
因an≠2，(否則將an=2代入遞推公式會導致矛盾)故 .
因 ，
故 確是公比為q=2的等比數(shù)列.
因 ，故 ， ，
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = =
法二：
(Ⅰ)由 得 ，代入遞推關系8an+1an﹣16an+1+2an+5=0，
整理得 ，即 ，
由a1=1，有b1=2，所以 .
(Ⅱ)由 ，
所以 是首項為 ，公比q=2的等比數(shù)列，
故 ，即 .
由 ，得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = .
法三：
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ) 猜想{bn+1﹣bn}是首項為 ，
公比q=2的等比數(shù)列，
又因an≠2，故 .
因此 =
;
= .
因 是公比q=2的等比數(shù)列， ，
從而bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1=
=
= .
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = .
【點評】本題考查了數(shù)列的綜合運用：遞推關系的運用，構造等比求數(shù)列通項，累加求通項，歸納推理的運用，綜合考查了考生的推理運算能力.
20.一個截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬AB=4米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準向河道填土.
(1)建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼挡⑶蟪鰭佄锞€弧AB的標準方程;
(2)試求當截面梯形的下底(較長的底邊)長為多少米時，才能使挖出的土最少?
【考點】拋物線的應用.
【專題】應用題.
【分析】(1)以拋物線的頂點為原點，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，一依題意可知A，B的坐標，設出拋物線的方程，把點B代入求得p，進而可求得拋物線的方程.
(2)設等腰梯形的腰與拋物線相切于P，則可利用導函數(shù)求得P的切線的斜率，表示直線l的方程，分別令y=0和2求得x，利用梯形面積求得面積的表達式，利用基本不等式求得三角形面積的小值.
【解答】解：(1)如圖：以拋物線的頂點為原點，AB中垂線為y軸建立直角坐標系
則A(﹣2，2)，B(2，2)
設拋物線的方程為x2=2Py(P>0)，
將點B(2，2)代入得P=1
所以拋物線弧AB方程為x2=2y(﹣2≤x≤2)
(2)設等腰梯形的腰與拋物線相切于 ，(不妨t>0)
則過 的切線l的斜率為y′|x=t=t
所以切線l的方程為： ，即
令y=0，得 ，
令y=2，得 ，
所以梯形面積
當僅當 ，即 時，“=”成立
此時下底邊長為
答：當梯形的下底邊長等于 米時，挖出的土最少.
【點評】考查待定系數(shù)法求曲線方程的知識;考查直線方程的知識;考查由函數(shù)導數(shù)或判別式法求曲線切線的知識;考查應用函數(shù)單調性或不等式求函數(shù)最值的知識;考查選擇恰當參數(shù)建立數(shù)學式子研究幾何圖形的解析幾何思維;考查根據(jù)實際選擇數(shù)學模型的能力(即數(shù)學建模能力).
21.如圖，動點M到兩定點A(﹣1，0)、B(2，0)構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C.
(Ⅰ)求軌跡C的方程;
(Ⅱ)設直線y=﹣2x+m與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|<|PR|，求 的取值范圍.
【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題;圓錐曲線的軌跡問題.
【專題】綜合題;壓軸題.
【分析】(Ⅰ)設出點M(x，y)，分類討論，根據(jù)∠MBA=2∠MAB，利用正切函數(shù)公式，建立方程化簡即可得到點M的軌跡方程;
(Ⅱ)直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0(x>1)聯(lián)立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有兩根且均在(1，+∞)內
可知，m>1，m≠2設Q，R的坐標，求出xR，xQ，利用 ，即可確定 的取值范圍.
【解答】解：(Ⅰ)設M的坐標為(x，y)，顯然有x>0，且y≠0
當∠MBA=90°時，點M的坐標為(2，±3)
當∠MBA≠90°時，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化簡可得3x2﹣y2﹣3=0
而點(2，±3)在曲線3x2﹣y2﹣3=0上
綜上可知，軌跡C的方程為3x2﹣y2﹣3=0(x>1);
(Ⅱ)直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0(x>1)聯(lián)立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有兩根且均在(1，+∞)內
設f(x)=x2﹣4mx+m2+3，∴ ，∴m>1，m≠2
設Q，R的坐標分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，
∵|PQ|<|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m﹣ ，
∴ = =
∵m>1，且m≠2
∴ ，且
∴ ，且
∴ 的取值范圍是(1，7)∪(7，7+4 )
【點評】本題以角的關系為載體，考查直線、雙曲線、軌跡方程的求解，考查思維能力，運算能力，考查思維的嚴謹性，解題的關鍵是確定參數(shù)的范圍.
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