高二年級數(shù)學(xué)理科下學(xué)期期末試題
學(xué)生學(xué)習(xí)期間，在課堂的時(shí)間占了一大部分。因此聽課的效率如何，決定著學(xué)習(xí)的基本狀況，今天小編就給大家分享了高二數(shù)學(xué)，僅供參考哦
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題帶答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)全集 是實(shí)數(shù)集 ,集合 , ,則圖中陰影部分所表示的集合是 ( )
A. B.
C. D.
2.下面是關(guān)于復(fù)數(shù) 的四個(gè)命題：其中的真命題為( )
?、僭趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 ②復(fù)數(shù) 的虛部是-2
?、蹚?fù)數(shù) 是純虛數(shù) ④
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
3.設(shè) ,則( )
A. B. C. D.
4.已知向量a=(1，- )，b=(1，2 )且a⊥b，則 等于( )
A.-1 B.0 C. 12 D. 22
5.在 中，角A、B、C所對的邊分別是 、 、 ，若 ， ，則 等于( )
A. B. C. D.
6.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為( )
A.18 B.24 C.30 D.36
7. 若下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為 ，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于 的條件是( )
A. B. C. D.
8.若某幾何體的三視圖(單位： )如圖所示，則該幾何體的
體積等于( )
A. B.
C. D.
9.下列說法中，正確的是( )
A.命題“若 ，則 ”的逆命題是真命題
B.命題“存在 ”的否定是：“任意 ”
C.命題“ 或 ”為真命題，則命題“ ”和命題“ ”均為真命題
D.“ ”是“函數(shù) 是偶函數(shù)”的充分不必要條件
10.右圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)( ， )圖像的一部分.為了得到這個(gè)函數(shù)的圖像，只要將y=sin x(x∈R)的圖像上所有的點(diǎn) ( )
.向左平移π3個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變.
.向左平移π3個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變.
.向左平移π6個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變.
.向左平移π6個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變.
11.已知定義在 上的函數(shù) 對任意 都滿足 ，且當(dāng) 時(shí)， ，則函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.定義在 上的函數(shù) 滿足： 則不等式 (其中 為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.函數(shù) 的定義域?yàn)?，則函數(shù) 的定義域是__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬______
14.已知 ，則 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
15.函數(shù) 的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線 上，其中 則 得最小值為 .
16.已知函數(shù) 若方程 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是 .
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.第17~21題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
17. (本小題共12分)設(shè)數(shù)列 9，
(1)求證： 是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列 滿足 ,
求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ;
18.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱 中，側(cè)棱 平面 ， 為等腰直角三角形， ，且 分別是 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證： 平面 ;
(Ⅱ)求銳二面角 的余弦值.
19.某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取 名學(xué)生的筆試成績(被抽取學(xué)生的
成績均不低于 分,且不高于 分)，按成績分組，得到的頻率分布表如下左圖所示.
(1) 請先求出 、 、 、 的值，再在答題紙上補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試，
第4組中有ξ名學(xué)生被考官A面試，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
組號 分組 頻數(shù) 頻率
第1組 5 0.050
第2組
第3組 30
第4組 20 0.200
第5組 10 0.100
20.(本小題共12分)已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn) 與拋物線 的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為 ，傾斜角為 的直線 過點(diǎn) .
(Ⅰ)求該橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為 ，問拋物線 上是否存在一點(diǎn) ，使得 與 關(guān)于直線 對稱，若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.
21. (本小題共12分)已知函數(shù)
(Ⅰ)求 在點(diǎn) 處的切線方程;
(Ⅱ)若存在 ，滿足 成立，求 的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng) 時(shí)， 恒成立，求 的取值范圍.
選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請寫清題號.
22.(本小題滿分10分)選修4—4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
在直角坐標(biāo)系 中，曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).曲線C2: ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為( ).
(I)求曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若C1與C2相交于M、N兩點(diǎn)，求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知 .
(I)當(dāng)m=0時(shí)，求不等式 的解集;
(Ⅱ)對于任意實(shí)數(shù) ，不等式 成立，求m的取值范圍.
數(shù)學(xué)試題(理科)答案
一、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
CCABB CDBBA BA
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14. 15. 2 16.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.第17~21題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
17.(本小題共12分)解：(1)依題意， ，故 ，
當(dāng) ①
又 ②
?、?①整理得： ，故 是等比數(shù)列，
(2)由(1)知，且 ， ，
18. (本小題滿分12分)
(Ⅰ)連結(jié) ，∵ 是等腰直角三角形 斜邊 的中點(diǎn)，∴ .
又 三棱柱 為直三棱柱，
∴面 面 ，
∴ 面 ， .
設(shè) ，則 .
∴ ，∴ .
又 ，∴ 平面 .
(Ⅱ)以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為 軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè) ，
則 ，
， .
由(Ⅰ)知， 平面 ，
∴可取平面 的法向量 .
設(shè)平面 的法向量為 ，
由
∴可取 .
設(shè)銳二面角 的大小為 ，
則 .
∴所求銳二面角 的余弦值為 .
19. (本小題共12分)【解】：(1)由第1組的數(shù)據(jù)可得 ，第2組的頻率 = ，第2組的頻數(shù)為 = 人,
第3組的頻率為 = ,
頻率分布直方圖如右:
(2)因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生,
所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生,每組分別為:第3組: 人,… 6分
第4組: 人, …7分
第5組: 人, …8分
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人.
(3)由題意知變量ξ的可能取值是0，1，2
該變量符合超幾何分布，
∴
ξ 0 1 2
P
∴分布列是
∴
20. (本小題共12分)解：(Ⅰ)拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線方程為 ，
∴ ①
又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線 所得弦長為 ，
∴ 得上交點(diǎn)為 ，∴ ②
由①代入②得 ，解得 或 (舍去)，
從而
∴ 該橢圓的方程為該橢圓的方程為
(Ⅱ)∵ 傾斜角為 的直線 過點(diǎn) ，
∴ 直線 的方程為 ，即 ，
由(Ⅰ)知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為 ，設(shè) 與 關(guān)于直線 對稱，則得 ，解得 ，即 ，
又 滿足 ，故點(diǎn) 在拋物線上.所以拋物線 上存在一點(diǎn) ，使得 與 關(guān)于直線 對稱.
21. (本小題共12分)
解：(Ⅰ)
在 處的切線方程為：
即
(Ⅱ) 即 令
時(shí)， ， 時(shí)，
在 上減，在 上增
又 時(shí)， 的最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取到.
在 上最大值為 ，
故 的取值范圍是： < .
(Ⅲ)由已知得 時(shí) 恒成立，設(shè)
由(Ⅱ)知 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立，
故 從而當(dāng)
即 時(shí)， ， 為增函數(shù)，又
于是當(dāng) 時(shí)， 即 時(shí)符合題意。
由 可得 ，從而當(dāng) 時(shí)，
故當(dāng) 時(shí)， ， 為減函數(shù)，又 ，
于是當(dāng) 時(shí)， 即
故 ，不符合題意.綜上可得 的取值范圍為
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬試題
第I卷(選擇題 60分)
一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.復(fù)數(shù) (i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
2.有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為
A. B. C. D.
3.設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù) 的最大值為
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
4. 的展開式中 的系數(shù)為
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
5.三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，其中一個(gè)直角三角形中較小的銳角 滿足 ，現(xiàn)向大正方形內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是( )
A. B. C. D.
6.函數(shù) 的大致圖像是( )
A. B. C. D.
7.下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱的是
A. B. C. D.
8.直線 分別與 軸， 軸交于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) 在圓 上，則 面積的取值范圍是
A. B. C. D.
9.設(shè)函數(shù) .若 為奇函數(shù)，則曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為
A. B. C. D.
10.設(shè) , 是雙曲線 ( )的左、右焦點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn).過 作 的一條漸近線的垂線，垂足為 .若 ，則 的離心率為
A. B. C. D.
11.在 中，點(diǎn) 滿足 ，過點(diǎn) 的直線與 ， 所在直線分別交于點(diǎn) ， ，若 ， ，則 的最小值為( )
A. 3 B. 4 C. D.
12.已知函數(shù) ， 若關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不等實(shí)根 ，且 ，則 的最小值是( )
A. 2 B. C. D.
第II卷(非選擇題 90分)
二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的 ，則輸出的 _______________.
14.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門決定派出五位相關(guān)專家對三個(gè)貧困地區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為__________(用數(shù)字作答).
15.已知直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱) 各頂點(diǎn)都在同一球面上，且 ， ，若此球的表面積等于 ，則 _______.
16.若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù) ， 使等式 成立(其中 )，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是__________.
三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
(一)必考題：共60分。
17.(本小題滿分12分)
華中師大附中中科教處為了研究高一學(xué)生對物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是否與性別有關(guān)，從高一年級抽取 名同學(xué)(男同學(xué)30名，女同學(xué)30名)，給所有同學(xué)物理題和數(shù)學(xué)題各一題，讓每位同學(xué)自由選擇一題進(jìn)行解答。選題情況如下表：(單位：人)
物理題 數(shù)學(xué)題 總計(jì)
男同學(xué)
女同學(xué)
總計(jì)
(I)在犯錯(cuò)誤的概率不超過 的條件下，能否判斷高一學(xué)生對物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性別有關(guān)?
(II)經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲每次解答一道物理題所用的時(shí)間為5—8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時(shí)間為6—8分鐘，現(xiàn)甲、乙解同一道物理題，求甲比乙先解答完的概率;
(III)現(xiàn)從選擇做物理題的8名女生中任意選取兩人，對她們的解答情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附表及公式
18.(本小題滿分12分)已知函數(shù) .
(I)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;(II)當(dāng) 時(shí)， 恒成立，求 的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)
已知四棱錐 的底面 是直角梯形， 平行 ， ， 為 的中點(diǎn)， .
(I)證明:平面 平面 ;
(II)若 與平面 所成的角為 ，
求二面角 的余弦值.
20.(本小題滿分12分)
橢圓 ，其右焦點(diǎn)為 ,點(diǎn) 在橢圓 上,直線的方程為 .
(Ⅰ)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若過橢圓左焦點(diǎn) 的直線(不過點(diǎn) )交橢圓于 兩點(diǎn),直線 和直線 相交于點(diǎn) ,記 ， ， 的斜率分別為 ， ， 求證:
21.(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù) , .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn)，求 的取值范圍;
(Ⅱ)若 在點(diǎn) 處的切線與 軸平行，且函數(shù) 在 時(shí)，其圖象上每一點(diǎn)處切線的傾斜角均為銳角，求 的取值范圍.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.(本小題滿分10分)[選修4–4：極坐標(biāo)和參數(shù)方程選講]
在極坐標(biāo)系中.曲線 的極坐標(biāo)方程為 點(diǎn) 的極坐標(biāo)為 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸.建立平面直角坐標(biāo)系，
(Ⅰ)求曲線 的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn) 的直角坐標(biāo);
(Ⅱ)過點(diǎn) 的直線 與曲線 相交于 兩點(diǎn).若 ,求 的值.
23.(本小題滿分10分)[選修4–5：不等式選講]
已知 .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，求不等式 的解集;
(Ⅱ)若 時(shí)不等式 成立，求 的取值范圍.
數(shù)學(xué)(理科)參考答案
一.選擇題
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C
7.B 8.A 9.D 10.C 11.A 12.D
二.填空題
13.6. 14.36 15.2 16.
17.(1) 在犯錯(cuò)誤的概率不超過 的前提下，不能判斷高一學(xué)生對物理題和數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)與性別有關(guān).
(2) . (3)分布列省略， .
18.(1)單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ;(2)
19.(1)見解析;(2)
20.(1)橢圓方程為 ;(2)省略.
21.(1) ;(2)
22.(1)省略.(2) .
23.(1) . (2) .
有關(guān)于高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷
一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)
1. 已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足 ，則
A. B. C. D. 2
3. 已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為 ，則實(shí)數(shù)a的值為
x 2 3 4 5 6
y 3 7 11 a 21
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
4. 方程 表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是
A. B. C. D.
5. 設(shè)等比數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，且滿足 ，則
A. 4 B. 5 C. 8 D. 9
6. 如圖所示，一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為2的圓，則這個(gè)幾何體的全面積是
A. B. C. D.
7. 在如圖所示的計(jì)算 的值的程序框圖中，判斷框內(nèi)應(yīng)填入
A.
B.
C.
D.
8. 拋物線 上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是
A. B. C. D.
9. 函數(shù) 的部分圖象大致為
A. B.
C. D.
10. 如圖，在三棱錐 中，側(cè)面 底面BCD， ， ， ， ，直線AC與底面BCD所成角的大小為
A. B. C. D.
11. 經(jīng)過橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為 的直線l，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 等于
A. B. C. D.
12. 已知函數(shù) ，給出下列四個(gè)說法：
; 函數(shù) 的周期為 ;
在區(qū)間 上單調(diào)遞增; 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對稱
其中正確說法的序號是
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)
13. 已知向量 ，若 與 垂直，則m的值為______ .
14. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______ .
15. 設(shè) ，函數(shù)f 是偶函數(shù)，若曲線 的一條切線的斜率是 ，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______ .
16. 若直線l： 與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于B，被圓 截得的弦長為4，則 為坐標(biāo)原點(diǎn) 的最小值為______.
三、解答題(本大題共7小題，共84.0分)
17. 的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若 ， ， .
求c的值;
?、?求 的面積.
18. 如圖，斜三棱柱 中，側(cè)面 為菱形，底面 是等腰直角三角形， ， C.
求證：直線 直線 ;
若直線 與底面ABC成的角為 ，求二面角 的余弦值.
19. 在某項(xiàng)娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進(jìn)行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在 內(nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽.
?、?已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計(jì)這200名參賽選手的成績平均數(shù);
Ⅱ 根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加復(fù)活賽的選手能夠進(jìn)入第二輪比賽的概率為 ，假設(shè)每名選手能否通過復(fù)活賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有3名選手進(jìn)入復(fù)活賽，記這3名選手在復(fù)活賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20. 如圖，已知橢圓C： 的離心率是 ，一個(gè)頂點(diǎn)是 .
?、?求橢圓C的方程;
?、?設(shè)P，Q是橢圓C上異于點(diǎn)B的任意兩點(diǎn)，且 試問：直線PQ是否恒過一定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是，說明理由.
21. 已知函數(shù) .
?、?當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值;
?、?若 在 上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
22. 已知直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù) ，曲線C的極坐標(biāo)方程為 ，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn) ，
求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
求 的值.
23. 已知函數(shù) .
當(dāng) 時(shí)，解不等式 ;
若存在 滿足 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
答案和解析
【答案】
1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B
9. D 10. A 11. C 12. B
13.
14. 15
15.
16.
17. 本題滿分為12分
解： ， ， ，
，
在 中，由正弦定理 ，
可得 ，可得： ，即： ，
解得： 分
?、?在 中，由余弦定理 ，可得 ，
故 分
18. 證明：連接 ，
側(cè)面 為菱形，
，
又 與 相互垂直， ，
平面 ，
，又 ， ，
平面 ，
平面 ， 直線 直線 ;
解：由 知，平面 平面 ，由 作AB的垂線，垂足為D，則 平面ABC，
，得D為AB的中點(diǎn)，
過A作 的平行線，交 于E點(diǎn)，則 平面ABC，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，
則 為平面 的一個(gè)法向量，
則 0， ， 2， ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
由 ，取 ，得 ，
，
故二面角 的余弦值為 .
19. 解： Ⅰ 由題意： ，
估計(jì)這200名選手的成績平均數(shù)為 .
Ⅱ 由題意知， X B 3 ， 1 3 ，X可能取值為0，1，2，3，
，
所以X的分布列為 ：
X的數(shù)學(xué)期望為 .
20. 本小題滿分14分
?、?解：設(shè)橢圓C的半焦距為 依題意，得 ， 分
且 ， 分
解得 分
所以，橢圓C的方程是 分
?、?證法一：易知，直線PQ的斜率存在，設(shè)其方程為 分
將直線PQ的方程代入 ，
消去y，整理得 分
設(shè) ， ，
則 ， 分
因?yàn)?，且直線BP，BQ的斜率均存在，
所以 ，整理得 分
因?yàn)?， ，
所以 ，
將 代入 ，整理得 分
將 代入 ，整理得 分
解得 ，或 舍去 .
所以，直線PQ恒過定點(diǎn) 分
證法二：直線BP，BQ的斜率均存在，設(shè)直線BP的方程為 分
將直線BP的方程代入 ，消去y，得 分
解得 ，或 分
設(shè) ，所以 ， ，
所以 分
以 替換點(diǎn)P坐標(biāo)中的k，可得 分
從而，直線PQ的方程是 .
依題意，若直線PQ過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必定在y軸上 分
在上述方程中，令 ，解得 .
所以，直線PQ恒過定點(diǎn) 分
21. 解： Ⅰ 函數(shù) ， 函數(shù) 的定義域?yàn)?.
當(dāng) 時(shí)， .
當(dāng)x變化時(shí)， 和 的值的變化情況如下表：
x 1
0
遞減 極小值 遞增
由上表可知，函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 、單調(diào)遞增區(qū)間是 、極小值是 .
?、?由 ，得 .
若函數(shù) 為 上的單調(diào)增函數(shù)，則 在 上恒成立，
即不等式 在 上恒成立.
也即 在 上恒成立.
令 ，則 .
當(dāng) 時(shí)， ，
在 上為減函數(shù)， .
.
的取值范圍為 .
22. 【解答】
解： 直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù) ，消去參數(shù)，可得直線l的普通方程 ，
曲線C的極坐標(biāo)方程為 ，即 ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為 ，
直線的參數(shù)方程改寫為 ，
代入 ， ， ， ，
.
23. 解： 當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)，不等式等價(jià)于 ，解得 ，即 ;
當(dāng) 時(shí)，不等式等價(jià)于 ，解得 ，即 ;
當(dāng) 時(shí)，不等式等價(jià)于 ，解得 ，即 .
綜上所述，原不等式的解集為 或 .
由 ，即 ，
得 ，
又 ，
，即 ，
解得 .
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