高三年級理科上冊數(shù)學考試試卷題
理科和文科的數(shù)學是不一樣的，理科的更加難一點，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學，不會的就來看看吧
高三年級數(shù)學考試試卷題
參考公式：球的表面積公式 球的體積公式
第Ⅰ卷(選擇題滿分60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請在答題卷的相應區(qū)域答題.)
1.設集合 ， ，則 等于
A. B. C. D.
2.已知復數(shù) ，則 的實部為
A. -1 B. 0 C. 1 D. 3
3.函數(shù) ) 的部分圖象如圖所示，為了得到 的圖象，只需將 的圖象
A. 向右平移 個單位 B.向右平移 個單位
C.向左平移 個單位 D.向左平移 個單位
4. 直線 軸的交點為 ,點 把圓 的直徑分為兩段，則較長一段比上較短一段的值等于
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 某校高三(6)班共有48人，學號依次為1，2，3，…，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，已知學號為3，11，19，35，43的同學在樣本中，則還有一個同學的學號應為
A. 27 B. 26 C. 25 D. 24
6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
A. B.
C. D.
7. 在 展開式中，含 的項的系數(shù)是
A. 36 B. 24 C. -36 D. -24
8. 已知 ，則 的最小值是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知實數(shù) 滿足 ，則 的取值范圍是
A. B. C. D.
10.已知雙曲線 的左、右焦點分別 ，以線段 為直徑的圓與雙曲線 在第一象限交于點 ，且 ,則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
11. 定義域為 的函數(shù) 滿足 ，則不等式 的解為
A. B. C. D.
12.如圖，在 中， ， , 為
上一點，且滿足 ，若 的
面積為 ，則 的最小值為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題滿分90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請在答題卷的相應區(qū)域答題.)
13.已知 ，則 .
14.已知 ，則 .
15.執(zhí)行下圖的程序框圖，則輸出的 .
16.已知三棱錐 均為等邊三角形，二面角 的平面角為60°，則三棱錐外接球的表面積是.
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請在答題卷的相應區(qū)域答題.)
17.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列 .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式;
(Ⅱ)記 為數(shù)列 的前 項和，求數(shù)列 的前 項和 .
18.(本小題滿分12分)
2015年11月27日至28日，中共中央扶貧開發(fā)工作會議在北京召開，為確保到2020年所有貧困地區(qū)和貧困人口一道邁入全面小康社會. 黃山市深入學習貫徹習近平總書記關于扶貧開發(fā)工作的重要論述及系列指示精神，認真落實省委、省政府一系列決策部署，精準扶貧、精準施策，各項政策措施落到實處，脫貧攻堅各項工作順利推進，成效明顯.貧困戶楊老漢就是扶貧政策受益人之一.據(jù)了解，為了幫助楊老漢早日脫貧，負責楊老漢家的扶貧隊長、扶貧副隊長和幫扶責任人經(jīng)常到他家走訪,其中扶貧隊長每天到楊老漢家走訪的概率為
,扶貧副隊長每天到楊老漢家走訪的概率為 ,幫扶責任人每天到楊老漢家走訪的概率為 .
(Ⅰ)求幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率;
(Ⅱ)設扶貧隊長、副隊長、幫扶責任人三人某天到楊老漢家走訪的人數(shù)為X,求X的分布列;
(Ⅲ)楊老漢對三位幫扶人員非常滿意，他對別人說:“他家平均每天至少有1人走訪”.請問：他說的是真的嗎?
19.(本小題滿分12分)
如圖1，平面四邊形 中， , , , ，將三角形 沿 翻折到三角形 的位置，如圖2，平面 平面 ， 為 中點.
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求直線 與平面 所成角的正弦值.
20.(本小題滿分12分)
已知點 在拋物線 上，且 到拋物線焦點的距離為 . 直線 與拋物線交于 兩點，且線段 的中點為 .
(Ⅰ)求直線 的方程.
(Ⅱ)點 是直線 上的動點，求 的最小值.
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)設 是 的極值點，求 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下， 在定義域內恒成立，求 的取值范圍;
(Ⅲ)當 時，證明：
考生注意：請在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題目計分.作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目后的方框涂黑.
22.(本小題滿分10分)選修4―4：坐標系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標系 ，以 為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線
過點 ，且傾斜角為 ，圓 的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求圓 的普通方程和直線 的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設直線 與圓 交于M、N兩點，求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)
(Ⅰ)若 的解集;
(Ⅱ)若函數(shù) 有三個零點，求實數(shù) 的取值范圍.
黃山市2019屆高中畢業(yè)班第一次質量檢測
高三數(shù)學(理科)參考答案及評分標準
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1.C 2.B 3.B 4.A 5. A 6. B 7. D 8. D 9.A 10.A 11.C 12.B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 14. 15. 11 16.
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由 ，得 所以 …………3分
由累乘法得到 ，所以數(shù)列 的通項公式為 ………………6分
(Ⅱ) 由等差數(shù)列前n項和公式得： 所以
…………………………………………………………9分
數(shù)列 的前 項和
……12分
18. (本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)設幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的事件為A ;
∴幫扶責任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率為 ……………………………………3分
(Ⅱ)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3. ………………………………4分
;
; ……8分
隨機變量X的分布列為.
X 0 1 2 3
P
…………………………………9分
(Ⅲ) 所以
所以楊老漢說的是真的。 …………………………………………………………………12分
19.(本小題滿分12分)
證明：(Ⅰ)由題意 為等邊三角形，則 ，
在三角形 中， , ，由余弦定理可求得 ，
，即
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 …………………………………………………3分
等邊三角形 中， 為 中點，則 ，且
平面 ， …………………………………………………5分
(Ⅱ)以 為坐標原點， 分別為 軸， 軸建立空間直角坐標系，
則 ， ， ， ，
， ……………………………………………7分
設 是平面 的法向量，則 ，
取 ……………………………………………9分
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 . ……………………………12分
20. (本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)拋物線的準線方程為 ,拋物線方程為 ……2分
設 , …4分
直線 的方程為 即 …………………………………………6分
(Ⅱ) 都在直線 上，則 ，設
…8分
又
當 時， 的最小值為 …………………………………………………12分
21.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)∵ ，x=0是f(x)的極值點，∴ ，解得m=1.
經(jīng)檢驗m=1 符合題意 ……………2分
(Ⅱ)由( Ι)可知，函數(shù)f(x)=ex-ln(x+1)+1，其定義域為(-1，+∞).
∵ ………………………………………………4分
設g(x)=ex(x+1)-1，則g′(x)=ex(x+1)+ex>0，所以g(x)在(-1，+∞)上為增函數(shù)，
又∵g(0)=0，所以當x>0時，g(x)>0，即f′(x)>0;當-1
所以f(x)在(-1，0)上為減函數(shù);在(0，+∞)上為增函數(shù);因此， 的最小值為
∵ 0在定義域內恒成立,即 ……………………………………………………………7分
(Ⅲ)證明：要證 ， .
設 , 即證
當m≤2，x∈(-m，+∞)時， ，故只需證明當m=2時， .
當m=2時，函數(shù) 在(-2，+∞)上為增函數(shù)，且 .
故 在(-2，+∞)上有唯一實數(shù)根 ，且 ∈(-1，0).
當 時， ，當 時， ,
從而當 時， 取得最小值. …………………………………………………10分
由 ，得 ， 故 .
綜上，當m≤2時， 即 >m.………………………………………12分
22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)將直線 的參數(shù)方程代入圓 的方程，得：
23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)
高三數(shù)學上學期期末試卷理科生
第Ⅰ卷
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的).
1.已知集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
2.已知復數(shù) ( )，其中i為虛數(shù)單位，若 為實數(shù)，則 的值為( )
A. B. C. D.
3.已知 ，則下列關系正確的是( )
A. B. C. D.
4.下圖是某企業(yè)產值在2008年~2017年的年增量(即當年產值比前一年產值增加的量)統(tǒng)計圖(單位：萬元)，下列說法正確的是( )
A.2009年產值比2008年產值少
B.從2011年到2015年，產值年增量逐年減少
C.產值年增量的增量最大的是2017年
D.2016年的產值年增長率可能比2012年的產值年增長率低
5.等比數(shù)列 的前 項和 ，若對任意正整數(shù) 等式 成立，則 的值為( )
A.-3 B.1 C.-3或1 D.1或3
6.已知 ABC中， ，延長BD交AC于E，則 ( )
A. B. C. D.
7.函數(shù) 的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
8.已知 是某球面上不共面的四點，且 ，則此球的體積為( )
A. B. C. D.
9.已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ，實軸長為2，漸近線方程為 ， ，點N在圓 上，則 的最小值為
A. B.2 C. D.3
10.公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術”.利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.小華同學利用劉徽的“割圓術”思想在半徑為1的圓內作正 邊形求其面積，如圖是其設計的一個程序框圖，則框圖中應填入、輸出 的值分別為( )
(參考數(shù)據(jù)： )
A. B.
C. D.
11.已知點P(-1，0)，設不垂直于x軸的直線l與拋物線
y 2=2x交于不同的兩點A、B，若x軸是∠APB的角平分線，
則直線l一定過點( )
A.(，0) B.(1，0) C.(2，0) D.(-2，0)
12.設函數(shù) ，其中 ，若僅存
在兩個正整數(shù) 使得 ，則 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷(非選擇題)
二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分).
13.若 的展開式中常數(shù)項為-12，則a=____.
14.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為____.
15.設數(shù)列 的前n項和為 ,若 且 (n≥2)則 的通項公式 _______.
16.如右圖，正方體 中， 是 的中點， 是側面 上的動點，且 //平面 ，則 與平面 所成角的正切值的最大值是_________.
三、解答題(共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.在 中，角 所對的邊分別為 ，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，點 在線段 上， ， ,求 的面積.
18.如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB 平面BEC，BE EC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點.
(1)求證： 平面 ;
(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.
19.為了改善市民的生活環(huán)境，信陽市決定對信陽市的1萬家中小型化工企業(yè)進行污染情況摸排，并出臺相應的整治措施.通過對這些企業(yè)的排污口水質，周邊空氣質量等的檢驗，把污染情況綜合折算成標準分100分，發(fā)現(xiàn)信陽市的這些化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N(50，162)，分值越低，說明污染越嚴重;如果分值在[50，60]內，可以認為該企業(yè)治污水平基本達標.
(1)如圖信陽市的某工業(yè)區(qū)所有被調查的化工企業(yè)的污染情況標準分的頻率分布直方圖，請計算這個工業(yè)區(qū)被調查的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值，并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達標;
(2)大量調査表明，如果污染企業(yè)繼續(xù)生產，那么標準分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標準分在[18，34)內的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元.長沙市決定關停80%的標準分低于18分的化工企業(yè)和60%的標準分在[18，34)內的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有多少?
(附：若隨機變量 ，則 ， ， )
20.已知橢圓 過點 ，且其中一個焦點的坐標為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)過橢圓 右焦點 的直線與橢圓交于兩點 ，在 軸上是否存在點 ，使得 為定值?若存在，求出點 的坐標;若不存在，請說明理由.
21.設 是 在點 處的切線.
(1)求證： ;
(2)設 ，其中 .若 對 恒成立，求 的取值范圍.
(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。
22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系 中，以坐標原點 為極點，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為 ，已知直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，點 的直角坐標為 .
(1)求直線和曲線 的普通方程;
(2)設直線和曲線 交于 兩點，求 .
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) .
(1)若不等式 恒成立，求實數(shù) 的最大值;
(2)當 ，函數(shù) 有零點，求實數(shù) 的取值范圍.
參考答案
1.B 2.B 3.A 4.D
對 ，2009年產值比2008年產值多 萬元，故 錯誤;
對 ，從2011年到2015年，產值年增量逐年增加，故 錯誤;
對 ，產值年增量的增量最大的不是2017年，故 錯誤;
對 ，因為增長率等于增長量除以上一年產值,由于上一年產值不確定，所以2016年的產值年增長率可能比2012年的產值年增長率低， 對，故選D.
5.C設等比數(shù)列 的公比為 ，因為 ，所以 ，兩式相減，有 ，而 ，所以 ，當 時，令 得 ，解得 ;當 時，令 得 ，解得 ，所以 或 ，
6.D取特殊三角形，令 ，則有 ，直線BD的方程為 ，化簡得 ，令 ，解得 ，所以 ， ，故選D.
7.D因為 ，所以 為奇函數(shù)，不選A,C，
又因為 ，所以選D.
8.A因為 所以
因為 ，所以 為邊長為1得正方體四個頂點，外接球半徑為 ，
因此球的體積為 ，選A.
9.C因為 ，所以點M在雙曲線C右支上，因為漸近線方程為 ，所以 圓 ，即 ，設圓心為 ,
則有 ，選C.
10.C在半徑為 的圓內作出正 邊形，分成 個小的等腰三角形，
每一個等腰三角形兩腰是 ，頂角是 ，所以正 邊形面積是 ，
當 時， ;當 時， ;
當 時， ;符合 ，輸出 ，故選C.
11.B根據(jù)題意，直線的斜率不等于零，并且直線過的定點應該在x軸上，
設直線的方程為 ，與拋物線方程聯(lián)立，消元得 ，
設 ，因為x軸是∠APB的角平分線，所以AP、BP的斜率互為相反數(shù)，所以 ，結合根與系數(shù)之間的關系，整理得出 ，
即 ， ，解得 ，所以過定點 ，
12.A令 因為僅存在兩個正整數(shù) 使得 ，即僅有兩個整數(shù)使得 ，令 ，解得 且當 ， ;當 ， 所以 且 ， 所以當 時， ，另一個滿足條件的整數(shù)為2所以 ，代入解得 綜上， 的取值范圍為
13.-1因為 的展開式中常數(shù)項為 ，
14. 從圖中可以發(fā)現(xiàn)，對應的圓錐的高是2，底面圓的半徑是 ，
故剩余部分的底面的面積為 ，
所以該幾何體的體積為 ，故答案是 .
15.
時，由 可得 化為 是公差為 ，首項為的等差數(shù)列， ， 時， ，又因為 ，故答案為 .
16. 設 分別為 邊上的中點,則 四點共面，且平面 平面 ，又 面 ， 落在線段 上， 是 與平面 所成的角，
，設 的中點為,則當 與重合時 最小，此時 與平面 所成角的正切值有最大值為 ，故答案為 .
17.(1)因為 ，由正弦定理得：
即 ,
在 中， ，所以
，兩邊平方得：
由 ， ， 得
解得：
所以 的面積
18. 解法一：(Ⅰ)如圖，取 的中點 ，連接 ， ，又G是BE的中點， ，
又F是CD中點， ，由四邊形ABCD是矩形得， ，所以 .從而四邊形 是平行四邊形，所以 ，,又 ，所以 .
(Ⅱ)如圖，在平面BEC內，過點B作 ,因為 .
又因為AB 平面BEC，所以AB BE，AB BQ
以B為原點，分別以 的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1).因為AB 平面BEC，所以 為平面BEC的法向量，
設 為平面AEF的法向量.又
由 取 得 .
從而
所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為 .
解法二：(Ⅰ)如圖，取 中點 ，連接 ， ，又 是 的中點，可知 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 .
在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點得 .
又 面 ， 面 ，所以 面 .
又因為 ， 面 ， 面 ，
所以面 平面 ，因為 面 ，所以 平面 .
19. (Ⅰ)該工業(yè)區(qū)被調查的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值：
，
故該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平基本達標;
(Ⅱ)化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N(50，162)
標準分在[18，34)內的概率，
∴60%的標準分在[18，34)內的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失為:
萬元，
標準分低于18分的概率， ，
∴ 萬元
故信陽市決定關停80%的標準分低于18分的化工企業(yè)和60%的標準分在[18，34)內的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有
20. (1)由已知得 ，∴ ，則 的方程為 ;
(2)假設存在點 ,使得 為定值，
當直線的斜率不為 時，可設直線的方程為 ，
聯(lián)立 , 得
設 ，則 ，
要使上式為定值, 即與 無關，應有
解得 ，此時
當直線的斜率為 時，不妨設 ，當 的坐標為 時
綜上，存在點 使得 為定值.
21. (1)設 ，則 ，所以 .所以 .
令 . 滿足 ，且 .
當 時， ，故 單調遞減;
當 時， ，故 單調遞增.
所以， .所以 .
(2)法一： 的定義域是 ，且 .
① 當 時，由(1)得 ，
所以 .
所以 在區(qū)間 上單調遞增， 所以 恒成立，符合題意.
?、?當 時，由 ，且 的導數(shù) ，
所以 在區(qū)間 上單調遞增. 因為 ，
于是存在 ，使得 .
所以 在區(qū)間 上單調遞減，在區(qū)間 上單調遞增，
所以 ，此時 不會恒成立，不符合題意.
綜上， 的取值范圍是 .
法二：∵
∴
當
當
令 =
令 ,
故 ,故 ，
綜上 .
22. (1)∵ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=4ρcosα，
∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x.
由 消去，得 .∴直線l的直角坐標方程為 .
(2)點M(1，0)在直線l上，
設直線l的參數(shù)方程 (t為參數(shù))，A，B對應的參數(shù)為t1，t2.
將l的參數(shù)方程代入y2=4x，得 .
于是 ， .
∴ .
23. (Ⅰ) .
∵ ，
∴ 恒成立當且僅當 ，
∴ ，即實數(shù) 的最大值為1.
(Ⅱ)當 時，
∴ ，
∴ 或
∴ ，∴實數(shù) 的取值范圍是 .
高三數(shù)學上學期期末試題參考
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.復數(shù) 的虛部是
A. B.2 C. D.
2.已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
3.已知命題 若 ，則 ;命題 、 是直線， 為平面，若 // , ，則 // .下列命題為真命題的是
A. B. C. D.
4.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額 (單位：億元)的折線圖.
則下列結論中表述不正確的是
A.從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎
設施投資額逐年增加;
B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎設施的投資額比
2000年至2004年的投資總額還多;
C.2012年該地區(qū)基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番 ;
D.為了預測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎設施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為 )建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型 ，根據(jù)該模型預測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎設施投資額為256.5億元.
5. 函數(shù) 的圖象大致為
6. 若 滿足約束條件 ，則 的最小值為
A. 1 B.2 C.-2 D.-1
7.若 ， ， ，則 的大小關系為
A. B.
C. D.
8.若點 在拋物線 上，記拋物線 的焦點為 ，直線 與拋物線的另一交點為B，則
A. B. C. D.
9.某幾何體示意圖的三視圖如圖示，已知其主視圖的周長為8，
則該幾何體側面積的最大值為
A. B. C. D.
10.已知在區(qū)間 上，函數(shù) 與函數(shù) 的圖象交于點P，設點P在x軸上的射影為 ， 的橫坐標為 ，則 的值為
A. B. C. D.
11.已知雙曲線C： 的左、右焦點分別為 ，坐標原點O關于點 的對稱點為P，點P到雙曲線的漸近線距離為 ，過 的直線與雙曲線C右支相交于M、N兩點，若 ， 的周長為10，則雙曲線C的離心率為
A. B.2 C. D.3
12. 如圖，在三棱柱 中， 底面 ，∠ACB=90°，
為 上的動點，則 的最小值為
A. B. C.5 D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 的展開式中 的系數(shù)為_______;
14.若向量 、 不共線，且 ，則 _______;
15. 已知函數(shù) ，若 ，則實數(shù) 的取值范圍是 ;
16. 已知 ，則 .
三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17題~第21題為必考題，每個試題考生都必須做答.第22題~第23題為選考題，考生根據(jù)要求做答.
(一)必考題：共60分
17.(12分)
已知數(shù)列 的前n項和為 ，且滿足 ， .
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)若等差數(shù)列 的前n項和為 ，且 ， ，求數(shù)列 的前 項和 .
18.(12分)
如圖，在三棱錐P-ABC中，正三角形PAC所在平面與等腰三角形
ABC所在平面互相垂直，AB=BC，O是AC中點，OH⊥PC于H.
(1)證明：PC⊥平面BOH;
(2)若 ，求二面角A-BH-O的余弦值.
19.(12分)
某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式，方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試;方式二：周六一天培訓4小時，周日測試.公司有多個班組，每個班組60人，現(xiàn)任選兩組(記為甲組、乙組)先培訓，甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數(shù)如下表，其中第一、二周達標的員工評為優(yōu)秀.
第一周 第二周 第三周 第四周
甲組 20 25 10 5
乙組 8 16 20 16
(1)在甲組內任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率;
(2)每個員工技能測試是否達標相互獨立，以頻率作為概率.
(i)設公司員工在方式一、二下的受訓時間分別為 、 ，求 、 的分布列，若選平均受訓時間少的，則公司應選哪種培訓方式?
(ii)按(i)中所選方式從公司任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率.
20.(12分)
已知橢圓 : 的上頂點為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為 、 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設不經(jīng)過點A的直線 與橢圓 交于P、Q兩點，且 ,試探究直線 是否過定點?若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由.
21.(12分)
已知函數(shù) ( ， ).
(1)討論函數(shù) 的單調性;
(2)當 時， ，求k的取值范圍.
(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.
22. [選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] (10分)
已知曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，過極點的兩射線 、 相互垂直，與曲線C分別相交于A、B兩點(不同于點O)，且 的傾斜角為銳角 .
(1)求曲線C和射線 的極坐標方程;
(2)求△OAB的面積的最小值，并求此時 的值.
23. [選修4 5：不等式選講] (10分)
已知函數(shù) ，
(1)當a=2時，求不等式 的解集;
(2)當 時不等式 恒成立，求 的取值范圍.
(理科)參考答案
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則.
二、對計算題當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半;如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).
四、只給整數(shù)分數(shù).
一、選擇題
題序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B D A D A D C B B C
解析：8.依題意易得 ， ，由拋物線的定義得 ，聯(lián)立直線AF的方程與拋物線的方程消去y得 ，得 , 則 ,故 .
9. 由三視圖知，該幾何體為圓錐，設底面的半徑為r，母線的長為 ，則 ，又S側= (當且僅當 時“=”成立)
10. 依題意得
.
11. 依題意得點P ， ，由雙曲線的定義得 周長為 ，由此得 ， ，故 .
12. 由題設知△ 為等腰直角三角形，又 平面 ，
故∠ =90°，將二面角 沿 展開成平面圖形，
得四邊形 如圖示，由此， 要取得最小值，當且
僅當 三點共線，由題設知∠ ,
由余弦定理得 .
二、填空題
題序 13 14 15 16
答案 224 3
解析：
15. 因函數(shù) 為增函數(shù)，且為奇函數(shù)， ， ，
解得 .【學生填 或 或 都給滿分】
16. 依題意可得 ,其最小正周期 ,且 故
三、解答題
17.解：(1)當 時， ，----------------------------------------------------------------------------1分
由 得 ( )，
兩式相減得 ，又 ，
∴ ( )， ------------------------------------------------------------------------------3分
又 ，∴ ( )， --------------------------------------------------------4分
顯然 ， ，即數(shù)列 是首項為3、公比為3的等比數(shù)列，
∴ ; --------------------------------------------------------------------------------6分
(2)設數(shù)列 的公差為d，則有 ，由 得 ，解得 ，--------8分∴ ， --------------------------------------------------------------------9分
又 --------------------------------------------10分
∴
.--------------------------------------------------------------------12分
18.解：(1)∵AB=BC，O是AC中點，
∴ BO⊥AC，---------------------------------------------1分
又平面PAC⊥平面ABC，
且 平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴ BO⊥平面PAC，-------------------------------------3分
∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH=O，
∴ PC⊥平面BOH;------------------------------------5分
(2)易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，
如圖，以O為原點，OB所在的直線為x軸，建立空間直角
坐標系O - xyz，由 易知 ，OC=2，
， ，
∴ ， ， ， ，
， ， ， -----------------------------------7分
設平面ABH的法向量為 ，
則 ， ∴ ，取x=2，得 ，----------------------9分
由(1)知 是平面BHO的法向量，易知 ，------10分
設二面角A-BH-O的大小為 ，顯然 為銳角，
則 ，
∴ 二面角A-BH-O的余弦值為 .------------------------------------------------------------12分
【其它解法請參照給分】
19.解：(1)甲組60人中有45人優(yōu)秀，任選兩人，
恰有一人優(yōu)秀的概率為 ;--------------------------------------------3分
(2)(i) 的分布列為
5 10 15 20
P
，----------------------------------------------6分
的分布列為
4 8 12 26
P
，
∵ ，∴公司應選培訓方式一;----------------------------------------------------9分
(ii)按培訓方式一，從公司任選一人，其優(yōu)秀的概率為 ，
則從公司任選兩人，恰有一人優(yōu)秀的概率為 .-------------------------12分
20. 解：(1)依題意知點A的坐標為 ，則以點A圓心，以 為半徑的圓的方程為:
，------------------------------------------------------------------------------------1分
令 得 ，由圓A與y軸的交點分別為 、
可得 ，解得 ，-------------------------------------------------------3分
故所求橢圓 的方程為 .----------------------------------------------------------------4分
(2)解法1：由 得 ，可知PA的斜率存在且不為0，
設直線 ---------------① 則 -------------②----------------------6分
將①代入橢圓方程并整理得 ，可得 ，
則 ，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分
類似地可得 ，----------------------------------------------------------9分
由直線方程的兩點式可得：直線 的方程為 ，------------------------------11分
即直線 過定點，該定點的坐標為 .---------------------------------------------------------12分
【解法2：若直線l垂直于x軸，則AP不垂直于AQ，不合題意，
可知l的斜率存在，又l不過點(0,1)，設l的方程為 ，
又設點 ，則 ,
由 得 ，
由 ，消去y得 ，----------------------------6分
，當 即 時，
-------① ---------②-----------------------------------------7分
又 ， ，--------------------------8分
于是有 ，-----------③---------------------9分
將①②代入③得
整理得： ,--------------------------------------------------------------------------------------11分
滿足 ，這時直線 的方程為 ，直線 過定點 .------------------12分】
(21)解：(1) .--------------------------1分
?、偃?，當 時， ， 在 上單調遞增;
當 時， ， 在 上單調遞減.----------------------3分
?、谌?，當 時， ， 在 上單調遞減;
當 時， ， 在 上單調遞增.
∴當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減;
當 時， 在 上單調遞減，在 上單調遞增.-------------------5分
(2) ( )，
當 時，上不等式成立，滿足題設條件;-----------------------------------------------------6分
當 時， ，等價于 ，
設 ，則 ，
設 ( )，則 ，
∴ 在 上單調遞減，得 .-------------------------------------9分
?、佼?，即 時，得 ， ，
∴ 在 上單調遞減，得 ，滿足題設條件;--------------------10分
②當 ，即 時， ，而 ，
∴ ， ，又 單調遞減，
∴當 ， ，得 ，
∴ 在 上單調遞增，得 ，不滿足題設條件;
綜上所述， 或 .--------------------------------------------------------------------------12分
22. 解：(1)由曲線C的參數(shù)方程，得普通方程為 ，
由 ， ，得 ，
所以曲線C的極坐標方程為 ，[或 ] ---------------------------3分
的極坐標方程為 ; --------------------------------------------------------------------5分
(2)依題意設 ，則由(1)可得 ，
同理得 ，即 ，-------------------------------------------------7分
∴
∵ ∴ ，∴ ， -----------------9分
△OAB的面積的最小值為16，此時 ，
得 ，∴ . --------------------------------------------------------------------------10分
23.解：(1)①當 時， ，
解得 ，---------------------------------------------------------------------------------------------1分
?、诋?時， ，
解得 ，----------------------------------------------------------------------------------------2分
?、郛?時，
解得 ，----------------------------------------------------------------------------------------------3分
綜上知，不等式 的解集為 .-----------------------------------5分
(2)解法1：當 時， ，---------------6分
設 ，則 ， 恒成立，
只需 ， -------------------------------------------------------------------------------------8分
即 ，解得 ----------------------------------------------------------------------10分
【解法2：當 時， ，------------------------------------------------6分
，即 ，即 ----------------------------------7分
?、佼?時，上式恒成立， ;-----------------------------------------------------------8分
②當 時，得 恒成立，
只需 ，
綜上知， . --------------------------------------------------------------------------------10分】
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