正多邊形和圓教案設計二

　　教學目標 ：

　　(1)鞏固正多邊形的有關概念、性質和定理;

　　(2)通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力;

　　(3)通過例題的研究，培養(yǎng)學生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識.

　　教學重點：

　　綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯想和化歸.

　　教學難點 ：綜合運用知識證題.

　　教學活動設計：

　　(一)知識回顧

　　1.什么叫做正多邊形?

　　2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角?

　　3.正多邊形有哪些性質?(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)

　　4.正n邊形的每個中心角都等于 .

　　5.正多邊形的有關的定理.

　　(二)例題研究：

　　例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.

　　已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’.

　　求證：五邊形ABCDE是正五邊形.

　　分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可.

　　教師引導學生分析，學生動手證明.

　　證法1：連結OA、OB、OC，

　　∵五邊形ABCDE外切于⊙O.

　　∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

　　又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.

　　∴∠BAO=∠OCB.

　　又∵OB=OB

　　∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.

　　∴五邊形ABCDE是正五邊形.

　　證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

　　OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.

　　∠B=∠C ∠1=∠2 =.

　　同理 ===，

　　即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點.所以五邊形ABCDE是正五邊形.

　　反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點.由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”.

　　此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。

　　拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.

　　求證：五邊形ABCDE是正五邊形.(證明略)

　　分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法.

　　拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N.

　　求證：五邊形ABCDE是正五邊形.(證明略)

　　學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚.

　　例2、已知：正六邊形ABCDEF.

　　求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內切圓.

　　作法：1過A、B、C三點作⊙O.⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓.

　　2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內切圓.

　　用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內切圓.

　　練習：P161

　　1、求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形.

　　2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例.

　　(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形;

　　(2)各角相等的圓內接多邊形是正多邊形.

　　3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圓與內切圓.

　　(三)小結

　　知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質和判定方法.

　　能力與方法：重點復習了正多邊形的判定.正多邊形的外接圓與內切圓的畫法.