2019九年級數學上冊期中試卷
學習好數學是需要我們付出的，大家來做一下題吧，今天小編就給大家參考一下九年級數學，有喜歡的一起學習哦
九年級數學上冊期中試卷
一、選擇題(本題共10個小題，每小題3分，共30分)
1.(3分)下列方程中，是一元二次方程的是( )
A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D. +x2=0
2.(3分)下面四個手機應用圖標中，屬于中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3. (3分)關于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情況是( )
A.沒有實數根 B.只有一個實數根
C.有兩個相等的實數根 D.有兩個不相等的實數根
4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0時，下列變形正確的為( )
A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19
5.(3分)S型電視機經過連續(xù)兩次降價，每臺售價由原來的1500元降到了980元.設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是( )
A.1500(1+x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500
6.(3分)拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得的拋物線為( )
A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2
7.(3分)如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，點C的對應點E恰好落在AB延長線上，連接AD.下列結論錯誤的是( )
A.BD平分∠ABC B.AD∥BC
C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等邊三角形
8.(3分)若函數y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為( )
A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
9.(3分)如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數為( )
A.55° B.65° C.75° D.85°
10.(3分)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1，下列結論：
?、賏b<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正確的是( )
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)
11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根為 .
12.(3分)已知點(a，﹣1)與點(2，b)關于原點對稱，則a+b= .
13.(3分)關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一個根是0，則k的值是 .
14.(3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1，且經過點P(3，0)，則拋物線與x軸的另一個交點坐標為 .
15.(3分)把一副三角板如圖(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6厘米，DC=7厘米.把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1，如圖(2)，這時AB與CD1相交于點O，與D1E1相交于點F.則AD1= cm.
三、解答題(本大題共8小題，共75分)
16.(8分)解方程：
(1)4(x﹣5)2=36
(2)x2﹣ x+1=0.
17.(9分)已知關于x的一元二次方程：x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求證：對于任意實數t，方程都有實數根;
(2)當t為何值時，二次函數y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的圖象與x軸的兩個交點橫坐標互為相反數?請說明理由.
18.(9分)如圖，下列4×4網格圖都是由16個相同小正方形組成，每個網格圖中有4個小正方形已涂上陰影，請在下面每個圖形中，選取2個空白小正方形涂上陰影，使6個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形.
19.(9分)已知拋物線y=a(x﹣3)2+2經過點(1，﹣2)
(1)該拋物線的頂點坐標是
(2)求a的值;
(3)若點A(m，y1)、B(n，y2)(m
20.(9分)如圖，四邊形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD繞點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，此時發(fā)現點A、C、E恰好在一條直線上，求∠BAD的度數與AD的長.
21.(10分)某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷.據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.
(1)當銷售單價為70元時，每天的銷售利潤是多少?
(2)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍;
(3)如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量)
22.(10分)(1)問題發(fā)現：
如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上，請直接寫出線段BE與線段CD的數量與位置關系是關系： ;
(2)操作探究：
如圖②，將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉α(0°<α<360°)，(1)小題中線段BE與線段CD的關系是否成立?如果不成立，說明理由，如果成立，請你結合圖②給出的情形進行證明;
(3)解決問題：
將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉α(0°<α<360°)，若DE=2AC，在旋轉的過程中，當以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，在備用圖中畫出其中的一個情形，并寫出此時旋轉角α的度數是 度.
23.(11分)如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(﹣1，0)，C(0，2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫出P點的坐標;如果不存在，請說明理由;
(3)點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大?求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標.
九年級(上)期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本題共10個小題，每小題3分，共30分)
1.(3分)下列方程中，是一元二次方程的是( )
A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D. +x2=0
【解答】解：A、方程2x+1=0未知數的最高次數是1，屬于一元一次方程;故本選項錯誤;
B、y2+x=0中含有2個未知數，屬于二元二次方程，故本選項錯誤;
C、x2﹣x=0符合一元二次方程的定義;故本選項正確;
D、該方程是分式方程;故本選項錯誤;
故選：C.
2.(3分)下面四個手機應用圖標中，屬于中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：A圖形不是中心對稱圖形;
B圖形是中心對稱圖形;
C圖形不是中心對稱圖形;
D圖形不是中心對稱圖形，
故選：B.
3.(3分)關于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情況是( )
A.沒有實數根 B.只有一個實數根
C.有兩個相等的實數根 D.有兩個不相等的實數根
【解答】解：∵△=a2+4>0，
∴，方程有兩個不相等的兩個實數根.
故選：D.
4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0時，下列變形正確的為( )
A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19
【解答】解：方程移項得：x2﹣6x=10，
配方得：x2﹣6x+9=19，即(x﹣3)2=19，
故選：D.
5.(3分)S型電視機經過連續(xù)兩次降價，每臺售價由原來的1500元降到了980元.設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是( )
A.1500(1 +x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500
【解答】解：依題意得：第一次降價的售價為：1500(1﹣x)，
則第二次降價后的售價為：1500(1﹣x)(1﹣x)=1500(1﹣x)2，
∴1500(1﹣x)2=980.
故選：C.
6.(3分)拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得的拋物線為( )
A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2
【解答】解：拋物線y=3x2的頂點坐標為(0，0)，拋物線y=3x2向上平移2個單位，再向右平移3個單位后頂點坐標為(3，2)，此時解析式為y=3(x﹣3)2+2.
故選：D.
7.(3分)如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，點C的對應點E恰好落在AB延長線上，連接AD.下列結論錯誤的是( )
A.BD平分∠ABC B.AD∥BC
C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等邊三角形
【解答】解：∵△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等邊三角形，故D正確，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，故B正確;
∵將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠DBC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠ABD=∠DBC，
即BD平分∠ABC，故A正確;
故選：C.
8.(3分)若函數y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為( )
A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
【解答】解：當m=1時，函數解析式為：y=﹣6x+ 是一次函數，圖象與x軸有且只有一個交點 ，
當m≠1時，函數為二次函數，
∵函數y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的圖象與x軸有且只有一個交點，
∴62﹣4×(m﹣1)× m=0，
解得，m=﹣2或3，
故選：C.
9.(3分)如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數為( )
A.55° B.65° C.75° D.85°
【解答】解：∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉l10°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=110°，AB=AB′，
∴∠AB′B= (180°﹣110°)=35°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=35°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠ C′AB′=110°﹣35°=75°.
故選：C.
10.(3分)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1，下列結論：
?、賏b<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正確的是( )
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a>0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =1，
∴b=﹣2a<0，
∴ab<0，所以①正確;
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b2﹣4ac>0，所以②正確;
∵x=1時，y<0，
∴a+b+c<0，
而c<0，
∴a+b+2c<0，所以③正確;
∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
而x=﹣1時，y>0，即a﹣b+c>0，
∴a+2a+c>0，所以④錯誤.
故選：C.
二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)
11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根為 x=1或x= .
【解答】解：3x(x﹣1)=2(x﹣1)，
移項得：3x(x﹣1 )﹣2(x﹣1)=0，
即(x﹣1)(3x﹣2)=0，
∴x﹣1=0，3x﹣2=0，
解方程得：x1=1，x2= .
故答案為：x=1或x= .
12.(3分)已知點(a，﹣1)與點(2，b)關于原點對稱，則a+b= ﹣1 .
【解答】解：∵點(a，﹣1)與點(2，b)關于原點對稱，
∴a=﹣2，b=1，
∴a+b=﹣1，
故答案為：﹣1.
13.(3分)關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一個根是0，則k的值是 0 .
【解答】解：由于關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一個根是0，
把x=0代入方程，得k2﹣k=0，
解得，k1=1，k2=0
當k=1時，由于二次項系數k﹣1=0，
方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0不是關于 x的二次方程，故k≠1.
所以k的值是0.
故答案為：0
14.(3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1，且經過點P(3，0)，則拋物線與x軸的另一個交點坐標為 (﹣1，0) .
【解答】解：由于函數對稱軸為x=1，而P(3，0)位于x軸上，
則設與x軸另一交點坐標為(m，0)，
根據題意得： =1，
解得m=﹣1，
則拋物線與x軸的另一個交點坐標為(﹣1，0)，
故答案是：(﹣1，0).
15.(3分)把一副三角板如圖(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6厘米，DC=7厘米.把三角板DCE 繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1，如圖(2)，這時AB與CD1相交于點O，與D1E1相交于點F.則AD1= 5 cm.
【解答】解：由題意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°.
若旋轉角度為15°，則∠ACO=30°+15°=45°.
∴∠AOC=180°﹣∠ACO﹣∠CAO=90°.
在等腰Rt△ABC中，AB=6，則AC=BC=3 .
同理可求得：AO=OC=3.
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1﹣OC=4，
由勾股定理得：AD1=5.
三、解答題(本大題共8小題，共75分)
16.(8分)解方程：
(1)4(x﹣5)2=36
(2)x2﹣ x+1=0.
【解答】解：(1)開方得：2(x﹣5)=6或2(x﹣5)=﹣6，
解得：x1=8，x2=2;
(2)這里a=1，b=﹣ ，c=1，
∵△=10﹣4=6，
∴x= .
17.(9分)已知關于x的一元二次方程：x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求證：對于任意實數t，方程都有實數根;
(2)當t為何值時，二次函數y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的圖象與x軸的兩個交點橫坐標互為相反數?請說明理由.
【解答】解：(1)證明：在方程x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0中，△=[﹣(t﹣1)]2﹣4×1×(t﹣2)=t2﹣6t+9=(t﹣3)2≥0，
∴對于任意實數t，方程都有實數根;
(2)解：令y=0，得到x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0
設方程的兩根分別為m、n，
由題意可知，方程的兩個根互為相反數，
∴m+n=t﹣1=0，
解得：t=1.
∴當t=1時，方程的兩個根互為相反數.
18.(9分)如圖，下列4×4網格圖都是由16個相同小正方形組成，每個網格圖中有4個小正方形已涂上陰影，請在下面每個圖形中，選取2個空白小正方形涂上陰影，使6個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形.
【解答】解：(1)在圖1中選取2個空白小正方形涂上陰影，使6個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，答案如圖所示;
19.(9分)已知拋物線y=a(x﹣3)2+2經過點(1，﹣2)
(1)該拋物線的頂點坐標是 (3，2)
(2)求a的值;
(3)若點A(m，y1)、B(n，y2)(m
【解答】解：(1)∵y=a(x﹣3)2+2，
∴ 該拋物線的頂點坐標是(3，2)，
故答案為：(3，2);
(2)∵y=a(x﹣3)2+2經過點(1，﹣2)，
∴﹣2=a(1﹣3)2+2，
解得，a=﹣1，
即a的值是﹣1;
(3))∵y=a(x﹣3)2+2，a=﹣1，
∴該拋物線的圖象在x<3時，y隨x的增大而增大，在x>3時，y隨x的增大而減小，
∵點A(m，y1)、B(n，y2)(m
∴y1
20.(9分)如圖，四邊形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD繞點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，此時發(fā)現點A、C、E恰好在一條直線上，求∠BAD的度數與AD的長.
【解答】解：∵點A、C、E在一 條直線上，
而△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°
∴△ADE為等邊三角形，
∴∠E=60°，AD=AE，
∴∠BAD=60°，
∵點A、C、E在一條直線上，
∴AE=AC+CE，
∵△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，
∴CE=AB，
∴AE=AC+AB=2+3=5，
∴AD=AE=5.
21.(10分)某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷.據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.
(1)當銷售單價為70元時，每天的銷售利潤是多少?
(2)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍;
(3)如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量)
【解答】解：(1)當銷售單價為70元時，每天的銷售利潤=(70﹣50)×[50+5×(100﹣70)]=4000元;
(2)由題得 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500(x≥50).
∵銷售單價不得低于成本，
∴50≤x≤100.
(3)∵該企業(yè)每天的總成本不超過7000元
∴50×[50 +5(100﹣x)]≤7000(8分)
解得x≥82.
由(2)可知 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500
∵拋物線的對稱軸為x=80且a=﹣5<0
∴拋物線開口向下，在對稱軸右側，y隨x增大而減小.
∴當x=82時，y有最大，最大值=4480，
即 銷售單價為82元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為4480元.
22.(10分)(1)問題發(fā)現：
如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上，請直接寫出線段BE與線段CD的數量與位置關系是關系： BE=CD，BE⊥CD ;
(2)操作探究：
如圖②，將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉α(0°<α<360°)，(1)小題中線段BE與線段CD的關系是否成立?如果不成立，說明理由，如果成立，請你結合圖②給出的情形進行證明;
(3)解決問題：
將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉α(0°<α<360°)，若DE=2AC，在旋轉的過程中，當以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形時， 在備用圖中畫出其中的一個情形，并寫出此時旋轉角α的度數是 45°或225°或315 度.
【解答】解：(1)∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，BE⊥CD，
∴AE﹣AB=AD﹣AC，
∴BE=CD;
故答案為：BE=CD，BE⊥CD;
(2)(1)結論成立，
理由：如圖，
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋轉的性質得，∠BAE=∠CAD，
在△BAE與△CAD中， ，
∴△BAE≌△CAD(SAS)
∴BE=CD;∠AEB=∠ADC，
∴∠BED+∠EDF= ∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°，
∴∠EFD=90°，
即：BE⊥CD
(3)如圖，
∵以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，
∵ED=2AC，
∴AC=CD，
∴∠CAD=45°
或360°﹣90°﹣45°=225°，或360°﹣45°=315°
∴角α的度數是45°或225°或315°.
故答案為：45°或225°或315.
23.(11分)如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(﹣1，0)，C(0，2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫出P點的坐標;如果不存在，請說明理由;
(3)點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大?求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標.
【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，C(0，2)代入y=﹣ x2+bx+c得 ，
解得 ，c=2，
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2.
(2)存在.如圖1中， ∵C(0，2)，D( ，0)，
∴OC=2，OD= ，CD= =
①當CP=CD時，可得P1( ，4).
?、诋擠C=DP時，可得P2( ， )，P3( ，﹣ )
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為 或 或 .
(3)如圖2中，
對于拋物線y=﹣ x2+ x+2，當y=0時，﹣ x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1
∴B(4，0)，A(﹣1，0)，
由B(4，0)，C(0，2)得直線BC的解析式為y=﹣ x+2，
設E 則F ，
EF= ﹣ =
∴ <0，∴當m=2時，EF有最大值2，
此時E是BC中點，
∴當E運動到BC的中點時，△FBC面積最大，
∴△FBC最大面積= ×4×EF= ×4×2=4，此時E(2，1).
秋九年級數學調研試題
一、選擇題(每小題3分，共24分)
1.要使代數式2-3x有意義，則x的( )
A.最大值是23 B.最小值是23
C.最大值是32 D.最小值是32
2.若12+y=27，則y的值為( )
A.8 B.15 C.3 D.2
3.如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和D、E、F.若ABBC=23，DE=4，則EF的長是( )
A.83 B.203 C.6 D.10
第3題圖
4.方程x-2=x(x-2)的解為( )
A.x=0 B.x1=0，x2=2
C.x=2 D.x1=1，x2=2
5.參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共同簽訂了45份合同.設共有x家公司參加商品交易會，則x滿足的關系式為( )
A.12x(x+1)=45 B.12x(x-1)=45
C.x(x+1)=45 D.x(x-1)=45
6.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，CE和BD交于點O，設△OCD的面積為m，△OEB的面積為5，則下列結論中正確的是( )
A.m=5 B.m=45 C.m=35 D.m=10
第6題圖
7.若方程x2+x-1=0的兩實根為α、β，那么下列式子正確的是( )
A.α+β=1 B.αβ=1 C.α2+β2=2 D.1α+1β=1
8.如圖所示，一電線桿AB的影子分別落在了地上和墻上，某一時刻，小明豎起1米高的直桿，量得其影長為0.5米，此時，他又量得電線桿AB落在地上的影子BD長3米，落在墻上的影子CD的高為2米，小明用這些數據很快算出了電線桿AB的高，請你計算，電線桿AB的高為( )
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
二、填空題(每小題3分，共30分)
9.方程x2-2x-2=0的解是 .
10.如圖，在Rt△ABC中，AB=12，AC=5，∠A=90°，D、E分別為AB、AC的中點，則DE= .
第10題圖
11.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A的坐標為(2，3)，若以原點O為位似中心，畫△ABC的位似圖形△A′B′C′，使△ABC和△A′B′C′的相似比等于12，則點A′的坐標為 .
第11題圖
12.若關于x的一元二次方程ax2+3x-1=0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是 .
13.已知x、y為實數，且y=x2-9-9-x2+4，則x-y= .
14.如果|a|+a=0，則(a-1)2+a2=
15.若關于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的兩個實數根分別為2和b，則ab= .
16.如圖，在△ABC中，P為AB上一點，有下列四個條件：①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB.其中能判定△APC和△ACB相似的條件是
(填序號).
第16題圖
17.一個QQ群里共有若干個好友，如果每個好友都分別給群里其他好友發(fā)送了一條消息，這樣共有870條消息，則這個QQ群里有 個好友.
18.如圖，在平面直角坐標系中，等腰△OBC的邊OB在x軸上，OB=CB，OB邊上的高CA與OC邊上的高BE相交于點D，連接OD，AB=2，∠CBO=45°，在直線BE上求點M，使△BMC與△ODC相似，則點M的坐標是 .
三、解答題(共66分)
19.(6分)計算：
(1)(212-418+348)×52;
(2)18-22-82+(5-1)0.
20.(6分)解下列方程：
(1)(x+3)(x-1)=4x-4;
(2)2x2-20x+25=0.
21.(6分)先化簡，再求值：a2-2ab+b22a-2b÷1b-1a，其中a=5+1，b=5-1.
22.(10分)已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.
(1)若方程有兩實數根，求m的范圍;
(2)設方程兩實根為x1，x2，且|x1-x2|=1，求m.
23.(8分)某超市在銷售中發(fā)現：“熊出沒”童裝平均每天可售出20套，每套盈利40元，為了迎接元旦，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存.經市場調查發(fā)現：如果每套降價4元，那么平均每天就可多售出8套.要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每套應降價多少?
24.(8分)如圖，花叢中有一路燈桿AB.在燈光下，小明在D點處的影長DE=3米，沿BD方向行走到達G點，DG=5米，這時小明的影長GH=5米.如果小明的身高為1.7米，求路燈桿AB的高度(精確到0.1米).
25.(10分)已知如圖，D是△ABC的邊AB上一點，DE∥BC，交邊AC于點E，延長DE至點F，使EF=DE，連接BF，交邊AC于點G，連接CF.
(1)求證：AEAC=EGCG;
(2)如果CF2=FG•FB，求證：CG•CE=BC•DE.
26.(12分)請你認真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題.
(1)如圖①，將角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角頂點E與正方形ABCD的頂點D重合，角尺的一邊交CB于點F，另一邊交BA的延長線于點G.求證：EF=EG;
(2)如圖②，移動角尺，使角尺的頂點E始終在正方形ABCD的對角線BD上，其余條件不變，請你思考后直接回答EF和EG的數量關系：EF=EG(填“=”或“≠”);(6分)
(3)運用(1)(2)解答中所積累的活動經驗和數學知識，完成下題：如圖③，將(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一邊經過點A(即點G、A重合)，其余條件不變，若AB=4，DG=3，求EFEG的值.
期中檢測卷
1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.D
9.x1=1+3，x2=1-3 10.6.5 11.(4，6)
12.a>-94且a≠0 13.-1或-7
14.1-2a 15.4 16.①②③ 17.30
18.(1，2-1)或(-2，2) 解析：∵OB=BC，BE⊥OC，AC⊥AB，∠CBO=45°，∴∠CBE=∠OBE=22.5°，AC=AB=2，∴BC=2，OA=2-2.∵BE為OC的垂直平分線，∴CD=OD，∴∠OCD=∠COD，∴∠ACB=∠DOA=45°，∴OA=AD=2-2.(1)如圖①，過M作MF⊥BC，MG⊥AB.∵△CBM∽△COD，CD=OD，∴BM=CM，∴BF=CF=1.∵BE平分∠CBO，∴MG=MF，∴BG=BF=1，∴OG=OB-BG=1，∴MGAD=BGAB，即MG2-2=12，∴MG=2-1，故點M的坐標為(1，2-1);
(2)如圖②，△BCM∽△CDO時，過M作MP⊥AB于點P，連接OM，由(1)得CD=OD.又∵△BCM∽△CDO，∴BC=CM.又∵BE垂直平分CO，∴BC=CM=MO=OB，∴四邊形MOBC為菱形，∴CM∥AB，∴AC=PM=2，∠MOP=2∠MBO=45°，∴OP=MP=2，∴點M的坐標為(-2，2).
綜上所述，點M的坐標是(1，2-1)或(-2，2).
19.解：(1)原式=806-10;(3分)
(2)原式=2+1.(6分)
20.解：(1)x1=x2=1;(3分)
(2)x1=10+522，x2=10-522.(6分)
21.解：原式=(a-b)22(a-b)×aba-b=ab2，(2分)∵a=5+1，b=5-1，∴原式=ab2=(5+1)(5-1)2=2.(6分)
22.解：(1)依題意得Δ=(-2m)2-4m(m-2)≥0，m≠0，解得m>0;(4分)
(2)由題意得x1+x2=2，x1•x2=m-2m，(6分)|x1-x2|=1，∴(x1-x2)2=1，∴(x1+x2)2-4x1x2=4-4m-8m=1，(9分)∴m=8.(10分)
23.解：設每套應降價x元，則依題意得(40-x)(20+2x)=1200，(2分)整理，得x2-30x+200=0，(4分)解得x1=10，x2=20.(6分)因要盡量減少庫存，故x應取20.(7分)
答：每套應降價20元.(8分)
24.解：根據題意得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.∴△ABE∽△CDE，∴CDAB=DEDE+BD①.(2分)同理，FGAB=HGHG+GD+BD②.(4分)又CD=FG=1.7米，由①、②可得DEDE+BD=HGHG+GD+BD，即33+BD=510+BD，解得BD=7.5.(6分)將BD=7.5代入①得AB=5.95≈6.0(米).(7分)
答：路燈桿AB的高度約為6.0米.(8分)
25.解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴AEAC=DEBC，EFBC=EGCG.又∵DE=EF，∴DEBC=EFBC，∴AEAC=EGCG;(4分)
(2)∵CF2=FG•FB，∴CFFG=FBCF.又∠BFC=∠CFG，∴△BCF∽△CGF，∴FGFC=CGBC，∠FCE=∠CBF.(6分)又∵DF∥BC，∴∠EFG=∠CBF，∴∠FCE=∠EFG.又∵∠FEG=∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴EFEC=FGFC.(8分)又∵EF=DE，FGFC=CGBC，∴CGBC=DEEC，即CG•CE=BC•DE.(10分)
26.(1)證明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，∴∠AEG=∠CEF.又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，∴△EAG≌△ECF(ASA)，∴EG=EF;(4分)
(2)解：=(6分)
(3)解：過點E作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，(7分)則∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，∴EMAD=BEBD=ENCD，∴EMEN=ADCD=34.(9分)∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，∴∠FEN=∠GEM，∴Rt△GME∽Rt△FNE，則EFEG=ENEM=43.(12分)
關于九年級數學上學期期中模擬試卷
一.選擇題(共6小題，滿分18分，每小題3分)
1.(3分)點A(a，3)與點B(﹣4，b)關于原點對稱，則a+b=( )
A.﹣ 1 B.4 C.﹣4 D.1
2.(3分)下列交通標志圖案中，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)下列方程中是一元二次方程的是( )
A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0
4.(3分)關于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，則 a的值為( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
5.(3分)已知二次函數y=x2﹣5x+m的圖象與x軸有兩個交點，若其中一個交點的坐標為(1，0)，則另一個交點的坐標為( )
A.(﹣1，0) B.(4，0) C.(5，0) D.(﹣6，0)
6.(3分)拋物線y=3(x﹣1)2+1的頂點坐標是( )
A.(1，1) B.(﹣1，1) C.(﹣1，﹣1) D.(1，﹣1)
二.填空題(共8小題，滿分24分，每小題3分)
7.(3分)已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一個根，則3m2﹣3m﹣3的值為 .
8.(3分)關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 .
9.(3分)若關于x的一元二次方程 x2﹣2mx﹣4m+1=0有兩個相等的實數根，則(m﹣2)2﹣2m(m﹣1)的值為 .
10.(3分)二次函數y=mx2﹣2x+1，當x 時，y的值隨x值的增大而減小，則m的取值范圍是 .
11.(3分)已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交點的橫坐標為﹣1，則a+c= .
12.(3分)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為( ，1)，將OA繞原點逆時針方向旋轉90°得OB，則點B的坐標為 .
13.(3分)圖中，甲圖怎樣變成乙圖： .
14.(3分)若拋物線y =2x2﹣px+4p+1中不管p取何值時都通過定點，則 定點坐標為 .
三.解答題(共3小題，滿分18分，每小題6分)
15.(6分)用配方法解方程：x2﹣7x+5=0.
16.(6分)用公式法解下列方程：
(1)2x2﹣3x﹣5=0
(2)y2﹣3y+1=0.
17.(6分)關于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣3)x+m2+1=0.
(1)若m是方程的一個實數根，求m的值;
(2)若m為負數，判斷方程根的情況.
四.解答題(共2小題，滿分16分，每小題8分)
18.(8分)將拋物線y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三個單位，再繞原點O旋轉180°，求所得拋物線的解析式?
19.(8分)某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷.據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.
(1)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數關系式;
(2)求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內?
五.解答題(共2小題，滿分20分，每小題10分)
20.(10分)如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點E是邊AD上任意一點，△ABE接逆 時針方向旋轉一定角度后得到△ADF，延長BE交DF于點G，且AF=4，AB=7.
(1)請指出旋轉中心和旋轉角度;
(2)求BE的長;
(3)試猜測BG與DF的位置關系，并說明理由.
21.(10分)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM.點P，Q同時由B，A兩點出發(fā)，分別沿射線BC，AC方向以1cm/s的速度勻速運動.
(1)幾秒后△PCQ的面積是△ABC面積的一半?
(2)連結BQ，幾秒后△BPQ是等腰三角形?
六.解答題(共2小題，滿分24分，每小題12分)
22.(12分)為積極響應新舊動能轉換，提高公司經濟效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設備，每臺設備成本價為30萬元，經過市場調研發(fā)現，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺;每臺售價為45萬元時，年銷售量為550臺.假定該設備的年銷售量y(單位：臺)和銷售單價x(單位：萬元)成一次函數關系.
(1)求年銷售量y與銷售單價x的函數關系式;
(2)根據相關規(guī)定，此設備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則該設備的銷售單價應是多少萬元?
23.(12分)如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C，且OA=1，OB=3，頂點為D，對稱軸交x軸于點Q.
(1)求拋物線對應的二次函數的表達式;
(2)點P是拋物線的對稱軸上一點，以點P為圓心的圓經過A、B兩點，且與直線CD相切，求點P的坐標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△DCM∽△BQC?如果存在，求出點M的坐標;如果不存在，請說明理由.
參考答案
1.D.
2.C.
3.C.
4.B.
5.B.
6.A.
7.3.
8.k<1.
9.
10.0
11.1.
12.(﹣1， ).
13.繞點A順時針旋轉.
14.(4，33).
15.解：x2﹣7x+5=0，
x2﹣7x=﹣5，
x2﹣7x+( )2=﹣5+( )2，
(x﹣ )2= ，
x﹣ =± ，
x•= ，x 2= .
16.解：(1)由題意可知：a=2，b=﹣3，c=﹣5，
∴△=9﹣4×2×(﹣5)=49
∴x=
∴x= 或x=﹣1
(2)由題意可知：a=1，b=﹣3，c=1，
∴△=9﹣4×1×(﹣1)=13
∴y=
17.解：
(1)∵m是方程的一個實數根，
∴m2﹣(2m﹣3)m+m2+1=0，
∴ ;
(2)△=b2﹣4ac=﹣12m+5，
∵m<0，
∴﹣12m>0.
∴△=﹣12m+5>0.
∴此方程有兩個不相等的實數根.
18.解：y=﹣x2﹣2x﹣3，
=﹣(x2+2x+1)+1﹣3，
=﹣(x+1)2﹣2，
所以，拋物線的頂點坐標為(﹣1，﹣2)，
∵向右平移三個單位，
∴平移后的拋物線的頂點坐標為(2，﹣2)，
∵再繞原點O旋轉180°，
∴旋轉后的拋物線的頂點坐標為(﹣2，2)，
∴所得拋物線解析式為y=(x+2)2+2.
19.解：(1)y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]
=(x﹣50)(﹣5x+550)
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500(50≤x≤100);
(2)y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5(x﹣80)2+4500，
∵a=﹣5<0，
∴拋物線開口向下.
∵50≤x≤100，對稱軸是直線x=80，
∴當x=80時，y最大值=4500;
(3)當y=4000時，﹣5(x﹣80)2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90.
∴當70≤x≤90時，每天的銷售利潤不低于4000元.
20.解：(1)旋轉中心A點，旋轉角度是90°.
(2)∵△ABE接逆時針方向旋轉一定角度后得到△ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF=AE=4，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAE=90°，
由勾股定理得：BE= = = ，
答：BE的長是 .
(3)BG與DF的位置關系是垂直，
理由是：∵△ABE≌△ADF，
∴∠EBA=∠ADF，
∵∠EBA+∠AEB=180°﹣90°=90°，
∵∠AEB=∠DEG，
∴∠DEG+∠ADF=90°，
∴∠DGE=180°﹣(∠DEG+∠ADF)=90°，
∴BG⊥DF.
21.解：(1)設運動x秒后，△PCQ的面積是△ABC面積的一半，
當0
S△ABC= ×AC•BC= ×6×8=24，
即： ×(8﹣x)×(6﹣x)= ×24，
x2﹣14x+24=0，
(x﹣2)(x﹣12)=0，
x1=12(舍去)，x2=2;
當6
×(8﹣x)×(x﹣6)= ×24，
x2﹣14x+72=0，
b2﹣4ac=196﹣288=﹣92<0，
∴此方程無實數根，
當x>8時，
S△ABC= ×AC•BC= ×6×8=24，
即： ×(x﹣8)×(x﹣6)= ×24，
x2﹣14x+24=0，
(x﹣2)(x﹣12)=0，
x1=12，x2=2(舍去)，
所以，當2秒或12秒時使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半.
(2)設t秒后△BPQ是等腰三角形，
?、佼擝P=BQ時，t2=62+(8﹣t)2，
解得：t= ;
?、诋擯Q=BQ時，(6﹣t)2+(8﹣t)2=62+(8﹣t)2，
解得：t=12;
③當BP=PQ時，t2=(6﹣t)2+(8﹣t)2，
解得：t=14±4 .
22.解：(1)設年銷售量y與銷售單價x的函數關系式為y=kx+b(k≠0)，
將(40，600)、(45，550)代入y=kx+b，得：
，解得： ，
∴年銷售量y與銷售單價x的函數關系式為y=﹣10x+1000.
(2)設此設備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設備的利潤為 (x﹣30)萬元，銷售數量為(﹣10x+1000)臺，
根據題意得：(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80.
∵此設備的銷售單價不得高于70萬元，
∴x=50.
答：該設備的銷售單價應是50萬元/臺.
23.解：(1)∵OA=1，OB=3，
∴A(﹣1，0)，B( 3，0).
代入y=﹣x2+bx+c，得
解得 b=2，c=3.
∴拋物線對應二次函數的表達式為：y=﹣x2+2x+3;
(2)如圖，設直線CD切⊙P于點E.連結PE、PA，作CF⊥DQ于點F.
∴PE⊥CD，PE=PA.
由y=﹣x2+2x+3，得
對稱軸為直線x=1，C(0，3)、D(1，4).
∴DF=4﹣3=1，CF=1，
∴DF=CF，
∴△DCF為等腰直角三角形.
∴∠CDF=45°，
∴∠EDP=∠EPD=45°，
∴DE=EP，
∴△DEP為等 腰三角形.
設P(1，m)，
∴EP2= (4﹣m)2.
在△APQ中，∠PQA=90°，
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2
∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.
整理，得m2+8m﹣8=0
解得，m=﹣4±2 .
∴點P的坐標為(1，﹣4+2 )或(1，﹣4﹣2 ).
(3)存在點M，使得△DCM∽△BQC.
如圖，連結CQ、CB、CM，
∵C(0，3)，OB=3，∠COB=90°，
∴△COB為等腰直角三角形，
∴∠CBQ=45°，BC=3 .
由(2)可知，∠CDM=45°，CD= ，
∴ ∠CBQ=∠CDM.
∴△DCM∽△BQC分兩種情況.
當 = 時，
∴ = ，解得 DM= .
∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .
∴M1(1， ).
當 時，
∴ = ，解得 DM=3.
∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.
∴M2(1，1).
綜上，點M的坐標為(1， )或(1，1).
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