初中九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題
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九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中檢測(cè)試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.二次函數(shù) 的最小值是( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.已知二次函數(shù) 無(wú)論k取何值，其圖象的頂點(diǎn)都在( )
A.直線上 B.直線上
C.x軸上 D.y軸上
3.(河南中考)在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2 4先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的表達(dá)式是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x 2)2 2
C.y=(x 2)2+2 D.y=(x+2)2 2
4.(2015•上海中考)如果一個(gè)正多邊形的中心角為72°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)
是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5.(2015•河北中考)如圖，AC，BE是⊙O的直徑，弦AD與BE交于點(diǎn)F，下列三角形中，外心不是點(diǎn)O的是( )
A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE
6.(2015•上海中考)如圖，已知在⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D. 要使四邊形OACB為菱形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是( )
A. AD=BD B. OD=CD C. ∠CAD=∠CBD D. ∠OCA=∠OCB
7.已知二次函數(shù)，當(dāng)取 ( ≠ )時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)取 時(shí)，函數(shù)值為( )
A. B. C. D.c
8.已知二次函數(shù)，當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有 ，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：
① ;②;③ ;④;⑤.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D. 5
10.已知反比例函數(shù) 的圖象如圖所示，則二次函數(shù) 的圖象大致為( )
二、填空題(每小題3分，共24分)
11.已知拋物線 的頂點(diǎn)為 則 ， .
12.如果函數(shù)是二次函數(shù)，那么k的值一定是 .
13.將二次函數(shù)化為 的形式，結(jié)果為 .
14. (2015•湖南益陽(yáng)中考)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O 的半徑為1，則 的長(zhǎng)為 .
15.把拋物線 的圖象先向右平移3 個(gè)單位，再向下平移2 個(gè)單位，所得圖象的表達(dá)式是 則 .
16.如圖所示，已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)(-1,0)和(0,-1)
兩點(diǎn)，化簡(jiǎn)代數(shù)式= .
17. (2015•江蘇南通中考)如圖，在⊙O中，半徑OD垂直于弦AB，垂足為C，OD=13 cm，AB=24 cm，則CD= cm.
18.已知二次函數(shù)，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是________.(把所有你認(rèn)為錯(cuò)誤的序號(hào)都寫(xiě)上)
?、佼?dāng) 時(shí)， 隨 的增大而減小;
②若圖象與 軸有交點(diǎn)，則 ;
③當(dāng) 時(shí)，不等式 的解集是 ;
④若將圖象向上平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后過(guò)點(diǎn) ，則 .
三、解答題(共66分)
19.(8分)已知二次函數(shù) (m是常數(shù)).
(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn).
(2)把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)?
20.(8分)已知拋物線 與 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(1)求 的取值范圍;
(2)拋物線 與 軸的兩交點(diǎn)間的距離為2，求 的值.
21.(8分)心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在一定的時(shí)間范圍內(nèi),學(xué)生對(duì)概念的接受能力 與提出概念所用的時(shí)間 (單位：分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系式 的值越大,表示接受能力越強(qiáng).
(1)若用10分鐘提出概念,學(xué)生的接受能力 的值是多少?
(2)如果改用8分鐘或15分鐘來(lái)提出這一概念,那么與用10分鐘相比，學(xué)生的接受能力是增強(qiáng)了還是減弱了?通過(guò)計(jì)算來(lái)回答.
22.(8分)(2015•廣東珠海中考)已知拋物線y=a bx+3的對(duì)稱軸是直線x=1.
(1)求證：2a+b=0;
(2)若關(guān)于x的方程a +bx-8=0的一個(gè)根為4，求方程的另一個(gè)根.
23.(8分)如圖所示，拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，與y軸交于點(diǎn)B.
(1)求n的值;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求四邊形ABCD 的面積.
24.(8分)(2015•黑龍江綏化中考)如圖，以線段AB為直徑作⊙O，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BE.過(guò)點(diǎn)O作OC∥BE交切線DE于點(diǎn)C，連接AC.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)若BD=OB=4，求弦AE的長(zhǎng).
25.(8分)(2015•貴州銅仁中考)如圖，已知三角形ABC的邊AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，AC經(jīng)過(guò)圓心O并與圓相交于點(diǎn)D，C，過(guò)點(diǎn)C作直線CE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證：CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半徑.
26.(10分)某飲料經(jīng)營(yíng)部每天的固定成本為50元，其銷(xiāo)售的每瓶飲料進(jìn)價(jià)為5元.設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為 元時(shí)，日均銷(xiāo)售量為 瓶， 與 的關(guān)系如下：
銷(xiāo)售單價(jià)(元) 6 7 8 9 10 11 12
日均銷(xiāo)售量(瓶) 270 240 210 180 150 120 90
(1)求 與 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量 的取值范圍.
(2)每瓶飲料的單價(jià)定為多少時(shí)，日均毛利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
(毛利潤(rùn) 售價(jià) 進(jìn)價(jià) 固定成本)
(3)每瓶飲料的單價(jià)定為多少元時(shí)，日均毛利潤(rùn)為430元?根據(jù)此結(jié)論請(qǐng)你直接寫(xiě)出銷(xiāo)售單價(jià)在什么范圍內(nèi)時(shí)，日均毛利潤(rùn)不低于430元.
期中檢測(cè)題參考答案
1.A 解析：依據(jù) ，當(dāng)
因?yàn)樗远魏瘮?shù)有最小值.當(dāng)時(shí)，
2.B 解析：頂點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，故圖象的頂點(diǎn)在直線 上.
3. B 解析:根據(jù)平移規(guī)律“左加右減”“上加下減”，將拋物線y=x2-4先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得y=(x-2)2-4，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.
4.B 解析：設(shè)這個(gè)正多邊形為正n邊形，由題意可知 ，解得 .
5.B 解析：由圖可知⊙O是 的外接圓，所以點(diǎn)O是 的外心.因?yàn)椤袿不是 的外接圓，所以點(diǎn)O不是 的外心.
6.B 解析：半徑OC⊥AB，由垂徑定理可知AD=BD，即四邊形OACB中兩條對(duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線被另一條平分. 根據(jù)“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”，可知若添加條件OD=CD，即可說(shuō)明四邊形OACB為菱形.
7.D 解析：由題意可知 所以 所以當(dāng)
8.B 解析：因?yàn)楫?dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有 ，又二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，所以圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以
9.B 解析:對(duì)于二次函數(shù) ，由圖象知：當(dāng) 時(shí)， ，
所以①正確;由圖象可以看出拋物線與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以②正確;
因?yàn)閳D象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線 ，所以，所以 ，所以③錯(cuò)誤;當(dāng) 時(shí)， ，所以④錯(cuò)誤;由圖象知 ，所以，所以⑤正確.故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3.
10.D 解析：由反比例函數(shù)的圖象可知，當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以在二次函數(shù) 中， ，則拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線 ，而 ，故選D.
11. -1 解析： 故
12.0 解析：根據(jù)二次函數(shù)的定義，得，解得 .
又∵ ，∴ .∴ 當(dāng) 時(shí)，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù).
13. 解析：
14. 解析：∵ 六邊形ABCDEF為正六邊形，∴ ∠AOB=360°× 60°， 的長(zhǎng)為
.
15.11 解析：
把它向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得
即 ∴
∴ ∴
16. 解析：把(-1，0)和(0，-1)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入中，得
， ，∴ .
由圖象可知，拋物線的對(duì)稱軸 ，且 ，
∴ ，∴ .
∴
= .
17.8 解析：由垂徑定理，得AC=AB=12 cm.
由半徑相等，得OA=OD=13 cm.
如圖，連接OA,在Rt△OAC中，由勾股定理，
得OC= =5.
所以CD=OD-OC=13-5=8(cm).
18. ③ 解析：①因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為直線 ，又圖象開(kāi)口向上，所以當(dāng) 時(shí)，
隨 的增大而減小，故正確;
?、谌魣D象與 軸有交點(diǎn)，則 ，解得，故正確;
?、郛?dāng) 時(shí)，不等式 的解集是 ，故不正確;
?、芤?yàn)椋?將圖象向上平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后所得圖象的表達(dá)式為，若過(guò)點(diǎn) ，則，解得 ，故正確.
19.(1)證法1：因?yàn)?–2m)2– 4(m2+3)= –12<0，
所以方程x2–2mx+m2+3=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
所以不論 為何值，函數(shù) 的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn).
證法2：因?yàn)?，所以該函數(shù)的圖象開(kāi)口向上.
又因?yàn)?，
所以該函數(shù)的圖象在 軸的上方.
所以不論 為何值，該函數(shù)的圖象與 軸沒(méi)有公共點(diǎn).
(2)解: ，
把函數(shù) 的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位后，得到函數(shù) 的圖象，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m，0)，
因此，這個(gè)函數(shù)的圖象與 軸只有一個(gè)公共點(diǎn).
所以把函數(shù) 的圖象沿 軸向下平移3個(gè)單位后，得到的函數(shù)的圖象與 軸只有一個(gè)公共點(diǎn).
20.解：(1)∵ 拋物線與 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴ >0，即解得c<.
(2)設(shè)拋物線 與 軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，
∵ 兩交點(diǎn)間的距離為2，∴ .
由題意，得 ，解得 ，
∴ ，.
21.解：(1)當(dāng) 時(shí)， .
(2)當(dāng) 時(shí)， ，
∴ 用8分鐘與用10分鐘相比,學(xué)生的接受能力減弱了;
當(dāng)時(shí)， ，
∴ 用15分鐘與用10分鐘相比,學(xué)生的接受能力增強(qiáng)了.
22.(1)證明：由拋物線y=a +bx+3的對(duì)稱軸為x=1，得 =1.
∴ 2a+b=0.
(2)解：∵ 拋物線y=a +bx-8與y=a +bx+3有相同對(duì)稱軸x=1，
且方程a +bx-8=0的一個(gè)根為4，
∴ 設(shè)a +bx-8=0的另一個(gè)根 ，則滿足：4+ = .
∵ 2a+b=0,即b=-2a, ∴ 4+ =2，∴ =-2.
23.分析：(1)先把點(diǎn)A(1，0)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，可得關(guān)于n的一元一次方程，即可求n;
(2)先過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式易求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，通過(guò)觀察可知 ，進(jìn)而可求四邊形ABCD的面積.
解：(1)∵ 拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，
∴ ，∴
(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵ 此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線 ，
頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) ，∴ D點(diǎn)的坐標(biāo)是( ， ).
又知C點(diǎn)坐標(biāo)是(4，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)是()，
∴ .
24.(1)證明：連接OE，
∵ CD與⊙O相切于點(diǎn)E，∴ OE⊥CD，∴ ∠CEO=90°.
∵ BE∥OC,∴ ∠AOC=∠OBE,∠COE=∠OEB.
∵ OB=OE,∴ ∠OBE=∠OEB.∴ ∠AOC=∠COE.
∵ OA=OE,OC=OC,∴ △AOC≌△EOC(SAS).
∴ ∠CAO=∠CEO=90°，∴ AC是⊙O的切線.
(2)解：在Rt△DEO中，∵ BD=OB,∴ BE=OD=OB=4.
又∵ OB=OE,∴ △BOE是等邊三角形，∴ ∠ABE=60°.
∵ AB是直徑，∴ ∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，AE=tan 60°•BE=4 .
25.(1)證明：如圖(1)，連接OB，∵ AB是⊙O的切線，∴ OB⊥AB.
∵ CE⊥AB，∴ OB∥CE，∴ ∠1=∠3.
∵ OB=OC，∴ ∠1=∠2，∴ ∠2=∠3，∴ CB平分∠ACE.
(2)解：如圖(2)，連接BD，
∵ CE⊥AB，∴ ∠E=90°.∴ BC= =5.
∵ CD是⊙O的直徑，∴ ∠DBC=90°，
∴ ∠E=∠DBC，∴ △DBC∽△BEC，∴ ，
∴ BC2=CD•CE， ∴ CD= ，
∴ OC= CD= ，∴ ⊙O的半徑為 .
26.分析：(1)設(shè) 與 的函數(shù)關(guān)系式為 ，把 ， ; ， 代入求出 的值;根據(jù) 大于0求 的取值范圍.
(2)根據(jù)“毛利潤(rùn) 售價(jià) 進(jìn)價(jià) 固定成本”列出函數(shù)關(guān)系式，然后整理成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答;
(3)把 代入函數(shù)關(guān)系式，解關(guān)于 的一元二次方程即可，根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性求出范圍.
解：(1)設(shè) 與 的函數(shù)關(guān)系式為 ，
把 ， ; ， 分別代入，
得 解得
∴ .
由 ，解得 ，∴ 自變量 的取值范圍是.(2)根據(jù)題意得，毛利潤(rùn)
，
∴ 當(dāng)單價(jià)定為10元時(shí)，日均毛利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是700元.
(3)根據(jù)題意，得 ，
整理，得，
即 ，∴ 或，
解得 ， ，
∴ 每瓶飲料的單價(jià)定為7元或13元時(shí)，日均毛利潤(rùn)為430元，
∵ ，∴ 銷(xiāo)售單價(jià)滿足時(shí)，日均毛利潤(rùn)不低于430元.
九年級(jí)數(shù)學(xué)下期中試題參考
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30 分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，)
1.﹣3的絕對(duì)值是 ( )
A.﹣3 B.3 C.-13 D.13
2.二次根式x−1中字母x的取值范圍是 ( )
A.x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
3.未來(lái)三年，國(guó)家將投入8450億元用于緩解群眾“看 病難、看病 貴”的問(wèn)題.將8450億元用科學(xué)記數(shù)法表示為 ( )
A.0.845×104億元 B.8.45×103億元 C.8.45×104億元 D.84.5×102億元
4.方程2x﹣1=3的解是 ( )
A.x=2 B.x=0.5 C.x=1 D.x= −1
5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m 與y=mx (m≠0)的圖象可能是 ( )
A. B.
C. D.
6.下列命題：
?、倨叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等; ②正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形;
?、蹖?duì)角線相等的四邊形是矩形; ④一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形.
其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如圖，已知△ABC的三個(gè) 頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為 ( )
A. 133 B. 155 C.255 D. 233
8.如圖，一個(gè)多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
第7題 第8題 第9題
9.過(guò)正方體中有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)切出一個(gè)平面，形成如圖幾何體，其正確展開(kāi)圖為( )
A. B. C. D.
10.已知一次函數(shù) y=2x−4的圖像與x 軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在該函數(shù)圖像上， P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2，若d1+d2=m，當(dāng)m為何值時(shí)，符合條件點(diǎn)P有且只有兩個(gè)( )
(A)m>2 (B) 2
二、填空題(本大題共8小題，每小題2分，共16分。)
11.分解因式：x2y﹣y= .
12.方程4x−12x−2 =3的解是x= .
13.將一次函數(shù)y=3x+1的圖象沿y軸向上平移2個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .
14. 如圖，菱形中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，則OE的長(zhǎng)等于 .
第14題 第15題 第16題 第17題
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y =-x+2與反比例函數(shù)y=1x的圖象有唯一公共點(diǎn). 若直線
y=−x+b與反比例函數(shù)y=1x的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍是 ;
16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧交邊DC于點(diǎn)E，則弧BE的長(zhǎng)度為 .
17.設(shè)△ABC的面積為9，如圖將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，則△AOB的面積為 .
18.如右圖，四邊形ABCD是以AC所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，∠B=90°，∠BAD=40°，AC=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則EF+CF長(zhǎng)度的最小值為 .
三、解答題(本大題共10小題，共84分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
19.計(jì)算：⑴計(jì)算： ﹣|﹣3|﹣(﹣π)0+2015; ⑵
20.⑴解方程： x2﹣4x﹣5=0 ⑵解不等式組：
21. 如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF.
(1) 求證：CF=AD;
(2) 若CA=CB，∠ACB=90°，試判斷四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由.
22. 如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接AO，AO與⊙O交于點(diǎn)C，BD為⊙O的直徑，連接CD.若點(diǎn)C為AO的中點(diǎn)，⑴求∠A的度數(shù);⑵若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.
23. 初中生在數(shù)學(xué)運(yùn)算中使用計(jì)算器的現(xiàn)象越來(lái)越普遍，某校一興趣小組隨機(jī)抽查了本校若干名學(xué)生使用計(jì)算器的情況. 以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制出的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：
請(qǐng)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，完成下列問(wèn)題：
(1)這次抽查的樣本容量是 ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全上述條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若從這次接受調(diào)查的學(xué)生中，隨機(jī)抽查一名學(xué)生恰好是“不常用”計(jì)算器的百分比是多少?
24. 有三張正面分別寫(xiě)有數(shù)字0，1，2的卡片，它們背面完全相同，現(xiàn)將這三張卡片背面朝上洗勻后隨機(jī)抽取一張，以其正面數(shù)字作為a的值，然后將其放回，再?gòu)娜龔埧ㄆN隨機(jī)抽取一張，以其正面的數(shù)字作為b的值，
?、徘簏c(diǎn)(a，b)在第一象限的概率;(請(qǐng)畫(huà)“樹(shù)狀圖”或者“列表”等方式給出分析過(guò)程)
⑵在點(diǎn)(a，b)所有可能中，任取兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離為5的概率是 ;
25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)，連接AB并延長(zhǎng)至C，使BC=AB，過(guò)C作CD⊥ 軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、E、A三點(diǎn)。
(1)∠OBA= 。
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式。
(3)若P為拋物線上位于AE部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形的面積記為S，求點(diǎn)P在什么位置時(shí)? 面積S的最大值是多少?
26.某商店銷(xiāo)售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷(xiāo)售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元.
?、徘竺颗_(tái)A型電腦和B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn);
?、圃撋痰暧?jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍。設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷(xiāo)售總利潤(rùn)為y元.
?、偾髖與x的關(guān)系式;
?、谠撋痰曩?gòu)進(jìn)A型、B型各多少臺(tái)，才能使銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?
?、菍?shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m(0
27. 已知點(diǎn)A(3，4)，點(diǎn)B為直線x=−1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B(-1，y)，
(1)如圖①，若△ABO是等腰三角形且AO=AB時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖②，若點(diǎn)C(x，0)且-1
①當(dāng)x=0時(shí)，求tan∠BAC的值;
?、谌鬉B與y軸正半軸的所夾銳角為α，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)?tanα的值最大?
28.如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P、Q是AC、BC邊上的點(diǎn)，P從C向 A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Q從B向C以每秒2個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0
⑴如圖①，當(dāng)t=2時(shí)，求證AQ=BP;
?、迫鐖D②，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ的面積為3;
⑶如圖③，將△CPQ沿直線PQ翻折至△C′PQ，
?、冱c(diǎn)C′ 落在△ABC內(nèi)部(不含△ABC的邊上)，確定t的取值范圍 ;
?、谠冖俚臈l件下，若D、E為邊AB邊上的三等分點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若直線CC′與AB的交點(diǎn)在線段DE上，總共有多少秒?
初三數(shù)學(xué)期中考試答案 ：
選擇題：1~5 BDBAA 6~10 CCBBA
填空題：11、y(x-1)(x+1) 12、6 13、(-1,0) 14、3.5 15、 b>2或b<-2 16、 2π/3 17、 1.8
18、33/2
計(jì)算題：
19、⑴2016 (4分)
⑵2x2−1 (4分)
20、⑴x1=5，x2=-1 (4分)
?、?5
21、⑴∵AB∥CF
∴∠EAD=∠EFC, ∠ADE=∠FCE, (1分)
∵E是CD的中點(diǎn)
∴DE=CE (2分)
∴△ADE≌FCE
∴AD=CF (3分)
∵CD是AB邊上的中線
∴AD=BD
∴BD=CF (4分)
(2)由(1)知BD=CF
又∵BD∥CF
∴四邊形C DBF是平行四邊形 (6分)
∵CA=CB,AD=BD
∴∠CDB=90°,CD=BD=AD (7分)
∴四邊形CDBF是正方形. (8分)
22、⑴連接BC
∵AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B
∴∠OBA=90° (1分)
∵點(diǎn)C為AO的中點(diǎn)
∴AC=OC=BC (2分)
∵OB=CO
∴OB=OC=BC即△OBC是等邊三角形 (3分)
∴∠BOC=60°
∴∠A=30° (4分)
?、朴散趴芍?ang;BOC=60°，則∠DOC=120° (5分)
S扇形=4π3 (6分)
S△ODC =3 (7分)
S陰影= 4π3 − 3 (8分)
23、⑴160 (2分)
?、坡?圖中一個(gè)空1分 (5分)
?、?5% (7分)
24、⑴49 圖3分+共9種等可能情況1分+結(jié)論1分 (5分)
?、?9 (7分)
25、(1)90. (2分)
(2)如答圖1，連接OC，
∵由(1)知OB⊥AC，又AB=BC，
∴OB是的垂直平分線.
∴OC=OA=10. (3分)
在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6.
∴C(6，8)，B(8，4). (4分)
∴OB所在直線的函數(shù)關(guān)系為y=12x.
又E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，即E(6，3).
∵拋物線過(guò)O(0，0)，E(6，3) ，A(10，0)， (5分)
∴設(shè)此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax(x-10)，
把E點(diǎn)坐標(biāo)代入得3=a•6(6-10)，解得a=− 18.
∴此拋物線的:函數(shù)關(guān)系式為y=− 18x(x-10)，即y= − 18x2+54x. (6分)
(3)∵E(6，3) ，A(10，0) ∴AE y= − 34x+92 (7分)
PQ∥y軸
設(shè)P(a，− 18a2+54a) Q(a，-34a+152)
PQ=− 18a2+54a+34a-152=− 18a2+2a -152=− 18(a2-16a+64)+8−152=− 18(a-8) 2+12
當(dāng)a=8時(shí)，PQmax=12 (8分)
S=S△OAE+S△AEP=15+12PQ•(a-6)+12PQ(10-a)=15+2PQ==− 14(a-8) 2+16 (9分)
S=16，點(diǎn)P(8，2) (10分)
26、解：⑴每臺(tái)A型電腦銷(xiāo)售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)為150元 (2分)
?、脾賧=-50x+15000 (4分)
②商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大. (6分)
?、菗?jù)題意得，y=(100+m)x+150(100-x)，即y=(m-50)x+15000， (7分)
?、佼?dāng)0
∴當(dāng)x=34時(shí)，y取最大值， (8分)
即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大.
②m=50時(shí)，m-50=0，y=15000， (9分)
即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦數(shù)量滿足3313≤x≤70的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn);
?、郛?dāng)50
∴當(dāng)x=70時(shí)，y取得最大值. (10分)
即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大.
27、解：⑴如圖，在Rt△ABE中 (4-y)2+42=52;
y=1或7
B(-1，1) 或者 B(-1，7) (2分)
?、脾?4
易證△AOF≌△OBG (4分)
BO:AO=OG:AF=1：4 (5分)
tan∠BAC(或者tan∠BAO)= 14 (6分)
?、谟善叫锌芍?ang;ABH=α 在Rt△ABE中 tanα= 4BH (7分 )
∵ tanα隨BH的增大而減小 ∴當(dāng)BH最小時(shí)tanα有最大值;即BG最大時(shí)，tanα有最大值。 (8分)
易證△ACF≌△CBG 得BG/CF=CG/AF y/x-3=x+1/4 y =-14(x+1)(3-x) y=-14(x-1)2+1 (9分)
當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1 當(dāng)C(1，0)時(shí)，tanα有最大值43 (10分)
28、⑴略 t=2時(shí)CP=CQ 1分 全等1分 (2分)
⑵ 3t(3-t)•12=3 (3分)
t1= 1 t2=2 (4分)
?、洽?.5
②如圖過(guò)點(diǎn)C，作FG∥AB
∵FG∥AB
∴FC′:AD=CC′:CD=C′G:BD
∵D是AB上的三等分點(diǎn)，
∴BD=2AD
∴C ′G=2FC′ 即C′是FG上的三等分點(diǎn) (7分)
易證△CFG是等邊三角形
易證：△C′FP∽△QGC′ CP:CQ= C′P:C′Q=△C′FP的周長(zhǎng)：△QGC′的周長(zhǎng)=t：(6-2t); (8分)
∵C′是FG上的三等分點(diǎn)
∴△C′FP的周長(zhǎng) △QGC′的周長(zhǎng)=t6-2t=45 t=2413 (9分)
同理t6-2t=54 t=157 時(shí)間為 157- − 2413=2791 (10分)
下學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中試題
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，)
1.﹣3的絕對(duì)值是 ( )
A.﹣3 B.3 C.-13 D.13
2.二次根式x−1中字母x的取值范圍是 ( )
A.x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
3.未來(lái)三年，國(guó)家將投入8450億元用于緩解群眾“看病難、看病貴”的問(wèn)題.將8450億元用科學(xué)記數(shù)法表示為 ( )
A.0.845×104億元 B.8.45×103億元 C.8.45×104億元 D.84.5×102億元
4.方程2x﹣1=3的解是 ( )
A.x=2 B.x=0.5 C.x=1 D.x= −1
5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m與y=mx (m≠0)的圖象可能是 ( )
A. B.
C. D.
6.下列命題：
?、倨叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等; ②正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形;
?、蹖?duì)角線相等的四邊形是矩形; ④一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形.
其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為 ( )
A. 133 B. 155 C.255 D. 233
8.如圖，一個(gè)多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
第7題 第8題 第9題
9.過(guò)正方體中有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)切出一個(gè)平面，形成如圖幾何體，其正確展開(kāi)圖為( )
A. B. C. D.
10.已知一次函數(shù)y=2x−4的圖像與x 軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在該函數(shù)圖像上， P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2，若d1+d2=m，當(dāng)m為何值時(shí)，符合條件點(diǎn)P有且只有兩個(gè)( )
(A)m>2 (B) 2
二、填空題(本大題共8小題，每小題2分，共16分。)
11.分解因式：x2y﹣y= .
12.方程4x−12x−2 =3的解是x= .
13.將一次函數(shù)y=3x+1的圖象沿y軸向上平移2個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .
14. 如圖，菱形中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，則OE的長(zhǎng)等于 .
第14題 第15題 第16題 第17題
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y =-x+2與反比例函數(shù)y=1x的圖象有唯一公共點(diǎn). 若直線
y=−x+b與反比例函數(shù)y=1x的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍是 ;
16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧交邊DC于點(diǎn)E，則弧BE的長(zhǎng)度為 . 21*04*4
17.設(shè)△ABC的面積為9，如圖將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，則△AOB的面積為 .
18.如右圖，四邊形ABCD是以AC所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，∠B=90°，∠BAD=40°，AC=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則EF+CF長(zhǎng)度的最小值為 .
三、解答題(本大題共10小題，共84分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
19.計(jì)算：⑴計(jì)算： ﹣|﹣3|﹣(﹣π)0+2015; ⑵
20.⑴解方程： x2﹣4x﹣5=0 ⑵解不等式組：
21. 如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF.
(1) 求證：CF=AD;
(2) 若CA=CB，∠ACB=90°，試判斷四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由.
22. 如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接AO，AO與⊙O交于點(diǎn)C，BD為⊙O的直徑，連接CD.若點(diǎn)C為AO的中點(diǎn)，⑴求∠A的度數(shù);⑵若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.
23. 初中生在數(shù)學(xué)運(yùn)算中使用計(jì)算器的現(xiàn)象越來(lái)越普遍，某校一興趣小組隨機(jī)抽查了本校若干名學(xué)生使用計(jì)算器的情況.以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制出的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：
請(qǐng)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，完成下列問(wèn)題：
(1)這次抽查的樣本容量是 ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全上述條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若從這次接受調(diào)查的學(xué)生中，隨機(jī)抽查一名學(xué)生恰好是“不常用”計(jì)算器的百分比是多少?
24. 有三張正面分別寫(xiě)有數(shù)字0，1，2的卡片，它們背面完全相同，現(xiàn)將這三張卡片背面朝上洗勻后隨機(jī)抽取一張，以其正面數(shù)字作為a的值，然后將其放回，再?gòu)娜龔埧ㄆN隨機(jī)抽取一張，以其正面的數(shù)字作為b的值，
⑴求點(diǎn)(a，b)在第一象限的概率;(請(qǐng)畫(huà)“樹(shù)狀圖”或者“列表”等方式給出分析過(guò)程)
?、圃邳c(diǎn)(a，b)所有可能中，任取兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離為5的概率是 ;
25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)，連接AB并延長(zhǎng)至C，使BC=AB，過(guò)C作CD⊥ 軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、E、A三點(diǎn)。
(1)∠OBA= 。
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式。
(3)若P為拋物線上位于AE部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形的面積記為S，求點(diǎn)P在什么位置時(shí)? 面積S的最大值是多少?
26.某商店銷(xiāo)售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷(xiāo)售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元.
?、徘竺颗_(tái)A型電腦和B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn);
?、圃撋痰暧?jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍。設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷(xiāo)售總利潤(rùn)為y元.
?、偾髖與x的關(guān)系式;
②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型各多少臺(tái)，才能使銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?
?、菍?shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m(0
27. 已知點(diǎn)A(3，4)，點(diǎn)B為直線x=−1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B(-1，y)，
(1)如圖①，若△ABO是等腰三角形且AO=AB時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖②，若點(diǎn)C(x，0)且-1
?、佼?dāng)x=0時(shí)，求tan∠BAC的值;
?、谌鬉B與y軸正半軸的所夾銳角為α，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)?tanα的值最大?
28.如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P、Q是AC、BC邊上的點(diǎn)，P從C向 A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Q從B向C以每秒2個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0
?、湃鐖D①，當(dāng)t=2時(shí)，求證AQ=BP;
⑵如圖②，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ的面積為3;
?、侨鐖D③，將△CPQ沿直線PQ翻折至△C′PQ，
?、冱c(diǎn)C′ 落在△ABC內(nèi)部(不含△ABC的邊上)，確定t的取值范圍 ;
?、谠冖俚臈l件下，若D、E為邊AB邊上的三等分點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若直線CC′與AB的交點(diǎn)在線段DE上，總共有多少秒?
圖①
圖②
圖③
初三數(shù)學(xué)期中考試答案：
選擇題：1~5 BDBAA 6~10 CCBBA
填空題：11、y(x-1)(x+1) 12、6 13、(-1,0) 14、3.5 15、 b>2或b<-2 16、 2π/3 17、 1.8
18、33/2
計(jì)算題：
19、⑴2016 (4分)
⑵2x2−1 (4分)
20、⑴x1=5，x2=-1 (4分)
⑵-5
21、⑴∵AB∥CF
∴∠EAD=∠EFC, ∠ADE=∠FCE, (1分)
∵E是CD的中點(diǎn)
∴DE=CE (2分)
∴△ADE≌FCE
∴AD=CF (3分)
∵CD是AB邊上的中線
∴AD=BD
∴BD=CF (4分)
(2)由(1)知BD=CF
又∵BD∥CF
∴四邊形CDBF是平行四邊形 (6分)
∵CA=CB,AD=BD
∴∠CDB=90°,CD=BD=AD (7分)
∴四邊形CDBF是正方形. (8分)
22、⑴連接BC
∵AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B
∴∠OBA=90° (1分)
∵點(diǎn)C為AO的中點(diǎn)
∴AC=OC=BC (2分)
∵OB=CO
∴OB=OC=BC即△OBC是等邊三角形 (3分)
∴∠BOC=60°
∴∠A=30° (4分)
?、朴散趴芍?ang;BOC=60°，則∠DOC=120° (5分)
S扇形=4π3 (6分)
S△ODC =3 (7分)
S陰影= 4π3 − 3 (8分)
23、⑴160 (2分)
⑵略 圖中一個(gè)空1分 (5分)
?、?5% (7分)
24、⑴49 圖3分+共9種等可能情況1分+結(jié)論1分 (5分)
?、?9 (7分)
25、(1)90. (2分)
(2)如答圖1，連接OC，
∵由(1)知OB⊥AC，又AB=BC，
∴OB是的垂直平分線.
∴OC=OA=10. (3分)
在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6.
∴C(6，8)，B(8，4). (4分)
∴OB所在直線的函數(shù)關(guān)系為y=12x.
又E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，即E(6，3).
∵拋物線過(guò)O(0，0)，E(6，3) ，A(10，0)， (5分)
∴設(shè)此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax(x-10)，
把E點(diǎn)坐標(biāo)代入得3=a•6(6-10)，解得a=− 18.
∴此拋物線的:函數(shù)關(guān)系式為y=− 18x(x-10)，即y= − 18x2+54x. (6分)
(3)∵E(6，3) ，A(10，0) ∴AE y= − 34x+92 (7分)
PQ∥y軸
設(shè)P(a，− 18a2+54a) Q(a，-34a+152)
PQ=− 18a2+54a+34a-152=− 18a2+2a -152=− 18(a2-16a+64)+8−152=− 18(a-8) 2+12
當(dāng)a=8時(shí)，PQmax=12 (8分)
S=S△OAE+S△AEP=15+12PQ•(a-6)+12PQ(10-a)=15+2PQ==− 14(a-8) 2+16 (9分)
S=16，點(diǎn)P(8，2) (10分)
26、解：⑴每臺(tái)A型電腦銷(xiāo)售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)為150元 (2分)
?、脾賧=-50x+15000 (4分)
?、谏痰曩?gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大. (6分)
⑶據(jù)題意得，y=(100+m)x+150(100-x)，即y=(m-50)x+15000， (7分)
?、佼?dāng)0
∴當(dāng)x=34時(shí)，y取最大值， (8分)
即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大.
?、趍=50時(shí)，m-50=0，y=15000， (9分)
即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦數(shù)量滿足3313≤x≤70的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn);
③當(dāng)50
∴當(dāng)x=70時(shí)，y取得最大值. (10分)
即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大.
27、解：⑴如圖，在Rt△ABE中 (4-y)2+42=52;
y=1或7
B(-1，1) 或者 B(-1，7) (2分)
?、脾?4
易證△AOF≌△OBG (4分)
BO:AO=OG:AF=1：4 (5分)
tan∠BAC(或者tan∠BAO)= 14 (6分)
②由平行可知：∠ABH=α 在Rt△ABE中 tanα= 4BH (7分 )
∵ tanα隨BH的增大而減小 ∴當(dāng)BH最小時(shí)tanα有最大值;即BG最大時(shí)，tanα有最大值。 (8分)
易證△ACF≌△CBG 得BG/CF=CG/AF y/x-3=x+1/4 y=-14(x+1)(3-x) y=-14(x-1)2+1 (9分)
當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1 當(dāng)C(1，0)時(shí)，tanα有最大值43 (10分)
28、⑴略 t=2時(shí)CP=CQ 1分 全等1分 (2分)
?、?3t(3-t)•12=3 (3分)
t1=1 t2=2 (4分)
?、洽?.5
②如圖過(guò)點(diǎn)C，作FG∥AB
∵FG∥AB
∴FC′:AD=CC′:CD=C′G:BD
∵D是AB上的三等分點(diǎn)，
∴BD=2AD
∴C′G=2FC′ 即C′是FG上的三等分點(diǎn) (7分)
易證△CFG是等邊三角形
易證：△C′FP∽△QGC′ CP:CQ= C′P:C′Q=△C′FP的周長(zhǎng)：△QGC′的周長(zhǎng)=t：(6-2t); (8分)
∵C′是FG上的三等分點(diǎn)
∴△C′FP的周長(zhǎng) △QGC′的周長(zhǎng)=t6-2t=45 t=2413 (9分)
同理t6-2t=54 t=157 時(shí)間為 157- − 2413=2791 (10分)
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