2023高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案
以往的教師在把握教材是，大都是有什么教什么，不能夠靈活的使用教材。而今的數(shù)學(xué)教學(xué)要求把學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)帶到課堂，要求在簡單的知識框架和結(jié)構(gòu)上創(chuàng)造性的使用教材，讓課堂變得有血有肉。接下來是小編為大家整理的2020高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案，希望大家喜歡!
2020高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案一
[教學(xué)目標(biāo)]
依據(jù)《新標(biāo)準(zhǔn)》對《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和本班學(xué)生實(shí)際情況，特確定如下目標(biāo)：
1、知識與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡單問題(求最值、證明不等式);培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、不等式的證明)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動探索基本不等式性質(zhì)，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
二、 [教學(xué)重點(diǎn)]
基本不等式 的證明過程及應(yīng)用。
三、 [教學(xué)難點(diǎn)]
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等)的正確理解;
2、靈活利用基本不等式求解實(shí)際問題中的最大值和最小值。
四、 [教學(xué)方法]
本節(jié)課采啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對基本不等式的理解。
[教學(xué)用具]
多媒體、幾何畫板
六、 [教學(xué)過程]
教學(xué)過程設(shè)計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強(qiáng)調(diào)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下：
(一)、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題;
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式 。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識基本不等式。
同時，(幾何畫板輔助教學(xué))通過幾何畫板演示，
讓學(xué)生更直觀的抽象、歸納出結(jié)論：
(二)、抽象歸納：
一般地，對于任意實(shí)數(shù) ，有 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立。
[問] 你能給出它的證明嗎?
學(xué)生在黑板上板書。
特別地，當(dāng) 時，在不等式 中，以 、 分別代替 ，得到什么?
答案： 。
【歸納總結(jié)】
如果 都是正數(shù)，那么 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為 的算術(shù)平均數(shù)， 稱為 的幾何平均數(shù)。
(三)、理解升華：
1、文字語言敘述：
兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、符號語言敘述：
若 ，則有 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時， 。
[問] 怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”?
3、探究基本不等式證明方法：
[問] 如何證明基本不等式?
方法一：作差比較或由 展開證明。
方法二：分析法。
分析法，實(shí)際上是尋找結(jié)論的充分條件，執(zhí)果索因的一種思維方法.
4、探究基本不等式的幾何意義：
2020高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案二
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識與技能：學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等;
2.過程與方法：通過實(shí)例探究抽象基本不等式;
3.情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
【教學(xué)重點(diǎn)】
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程;
【教學(xué)難點(diǎn)】
基本不等式 等號成立條件
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
基本不等式 的幾何背景：
如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系
2.講授新課
1.探究圖形中的不等關(guān)系
將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點(diǎn)，這時有 。
2.得到結(jié)論：一般的，如果
3.思考證明：你能給出它的證明嗎?
證明：因?yàn)?/p>
當(dāng)
所以， ，即
4.1)從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識基本不等式
特別的，如果a>0，b>0，我們用分別代替a、b ，可得 ，
通常我們把上式寫作：
2)從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式
用分析法證明：
要證 (1)
只要證 a+b (2)
要證(2)，只要證 a+b- 0 (3)
要證(3)，只要證 ( - ) (4)
顯然，(4)是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，(4)中的等號成立。
3)理解基本不等式 的幾何意義
探究：課本第98頁的“探究”
在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a，BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式 的幾何解釋嗎?
易證Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2=CA·CB
即CD= .
這個圓的半徑為 ，顯然，它大于或等于CD，即 ，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時，等號成立.
因此：基本不等式 幾何意義是“半徑不小于半弦”
評述：1.如果把 看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)， 看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).
2.在數(shù)學(xué)中，我們稱 為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱 為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：
(1) ≥2;
(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
分析：在運(yùn)用定理： 時，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形.
解：∵x，y都是正數(shù) ∴ >0， >0，x2>0，y2>0，x3>0，y3>0
(1) =2即 ≥2.
(2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0
∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3
即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
3.隨堂練習(xí)
1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
分析：對于此類題目，選擇定理： (a>0，b>0)靈活變形，可求得結(jié)果.
解：∵a，b，c都是正數(shù)
∴a+b≥2 >0
b+c≥2 >0
c+a≥2 >0
2020高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案三
一、教學(xué)目標(biāo)
知識與技能：
1.理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們之積的2倍的不等式的證明。
2.理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及幾何解釋。
過程與方法
本節(jié)的學(xué)習(xí)是學(xué)生對不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形倆方面深入的探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)?；静坏仁降淖C明要注重嚴(yán)密性，每一步都有理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力。
情感，態(tài)度與價值觀
培養(yǎng)學(xué)生舉一反三地邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會運(yùn)用基本不等式 的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略.
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程;
難點(diǎn)：理解“=”成立的充要條件.
三、教學(xué)過程：
1.動手操作，幾何引入
如圖是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的.
探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?
在正方形 中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長為 ，
那么正方形的邊長為 .于是，
4個直角三角形的面積之和 ，
正方形的面積 .
由圖可知 ，即 .
探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構(gòu)造出一個矩形(兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊).假設(shè)兩個正方形的面積分別為 和 ( )，考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個不等式嗎?
通過學(xué)生動手操作，探索發(fā)現(xiàn)：
2.代數(shù)證明，得出結(jié)論
根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結(jié)論：
若 ，則 .
若 ，則 .
學(xué)生探討等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件，從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論：
(1)若 ，則 ;(2)若 ，則
請同學(xué)們用代數(shù)方法給出這兩個不等式的證明.
證法一(作差法)：
，當(dāng) 時取等號.
(在該過程中，可發(fā)現(xiàn) 的取值可以是全體實(shí)數(shù))
證法二(分析法)：由于 ，于是
要證明? ，只要證明? ， 即證? ，
即? ，該式顯然成立，所以 ，當(dāng) 時取等號.
得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容
基本不等式：
若 ，則 (當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立)
若 ，則 (當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立)
深化認(rèn)識：
稱 為 的幾何平均數(shù);稱 為 的算術(shù)平均數(shù)
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