高一數學歸納法分析及解題步驟

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高一數學歸納法

　　《2.3數學歸納法》教學設計

　　青海湟川中學 劉巖

　　一、【教材分析】

　　本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2(人教A版)》第二章第三節(jié)《2.3數學歸納法》。在之前的學習中，我們已經用不完全歸納法得出了許多結論，例如某些數列的通項公式，但它們的正確性還有待證明。因此，數學歸納法的學習是在合情推理的基礎上，對歸納出來的與正整數有關的命題進行科學的證明，它將一個無窮的歸納過程轉化為有限步驟的演繹過程。通過把猜想和證明結合起來，讓學生認識數學的本質，把握數學的思維。本節(jié)課是數學歸納法的第一課時，主要讓學生了解數學歸納法的原理，并能夠用數學歸納法解決一些簡單的與正整數有關的問題。

　　二、【學情分析】

　　我校的學生基礎較好，思維活躍。學生在學習本節(jié)課新知的過程中可能存在兩方面的困難：一是從“骨牌游戲原理”啟發(fā)得到“數學方法”的過程有困難;二是解題中如何正確使用數學歸納法，尤其是第二步中如何使用遞推關系，可能出現問題。

　　三、【策略分析】

　　本節(jié)課中教師引導學生形成積極主動，勇于探究的學習精神，以及合作探究的學習方式;注重提高學生的數學思維能力;體驗從“實際生活—理論—實際應用”的過程;采用“教師引導—學生探索”相結合的教學方法，在教與學的和諧統一中，體現數學的價值，注重信息技術與數學課程的合理整合。

　　四、【教學目標】

　　(1)知識與技能目標：

　　①理解數學歸納法的原理與實質，掌握數學歸納法證題的兩個步驟;

　　②會用數學歸納法證明某些簡單的與正整數有關的命題。

　　(2)過程與方法目標：

　　努力創(chuàng)設愉悅的課堂氣氛，使學生處于積極思考，大膽質疑的氛圍中，提高學生學習興趣和課堂效率，讓學生經歷知識的構建過程，體會歸納遞推的數學思想。

　　(3)情感態(tài)度與價值觀目標：

　　通過本節(jié)課的教學，使學生領悟數學歸納法的思想，由生活實例，激發(fā)學生學習的熱情，提高學生學習的興趣，培養(yǎng)學生大膽猜想，小心求證，以及發(fā)現問題、提出問題，解決問題的數學能力。

　　五、【教學重難點】

　　教學重點：借助具體實例了解數學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，能熟練運用它證明一些簡單的與正整數n有關的數學命題;

　　教學難點：數學歸納法中遞推關系的應用。

　　六、【教學方法與工具】

　　教法指導：本節(jié)課采用的教學方法是“啟、思、演、練、結”五字教學法，即：以具體的例子引入課題，啟發(fā)學生想去了解歸納法;通過提出問題、創(chuàng)設情景，引導學生積極思考;借助電腦的動畫演示，提高直觀性與趣味性，延長學生有意注意的時間;教學中，及時精選一些練習幫助學生鞏固與強化知識，而“結”則包含兩方面的內容(1)授課中教師的及時小結與點撥(2)聽課時學生的自我小結與鞏固。

　　學法指導：(1)學習要求：①課前預習教材中有關內容;②聽課時積極思考大膽質疑;③課后及時完成課外作業(yè)。(2)指導措施：通過設置問題情景，激發(fā)學生大膽思考;由具體的事例吸引學生注意，通過直觀模型演示，化抽象為具體，突破教學難點;借助電腦聲像效果，營造愉悅課堂氛圍，提高學習興趣。

　　教學手段：多媒體輔助課堂教學。

　　一、教材內容解析

　　由于正整數無法窮盡的特點，有些關于正整數n的命題,難以對n進行一一的驗證，從而需要尋求一種新的推理方法，以便能通過有限的推理來證明無限的結論.這是數學歸納法產生的根源.

　　數學歸納法是一種證明與正整數n有關的命題的重要方法。它的獨到之處便是運用有限個步驟就能證明無限多個對象，而實現這一目的的工具就是遞推思想。

　　設p(n)表示與正整數n有關的命題，證明主要有兩個步驟：(1)證明p(1)為真;(2)證明若p(k)為真，則p(k+1)為真;有了這兩步的保證,就可實現以下的無窮動態(tài)的遞推過程：

　　P(1)真-> P(2)真-> P(3)真->… -> P(k)真-> P(k+1)真-> …

　　因此得到對于任何正整數n，命題p(n)都為真.

　　數學歸納法的兩個步驟中，第一步是證明的奠基，第二步是遞推的依據，即驗證由任意一個整數n過渡到下一個整數n+1時命題是否成立.這兩個步驟都非常重要，缺一不可.第一步確定了n=1時命題成立，n=1成為后面遞推的出發(fā)點，沒有它遞推成了無源之水;第二步確認了一種遞推關系，借助它，命題成立的范圍就能從1開始，向后面一個數一個數的無限傳遞到1以后的每一個正整數，從而完成證明.因些遞推是實現從有限到無限飛躍的關鍵，沒有它我們就只能停留在對有限情況的把握上.

　　在應用數學歸納法時，第一步中的起點1可以恰當偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可證明命題對n=n0以后的每個正整數都成立;而第二步的遞推方式也可作靈活的變動，如跳躍式前進等，但必須保證第一步中必須含有實現第二步遞推時的基礎.

　　數學歸納法名為歸納法，實質上與歸納法毫無邏輯聯系.按波利亞的說法“這個名字是隨便起的”.[1]歸納法是一種以特殊化和類比為工具的推理方法，是重要的探索發(fā)現的手段，是一種似真結構;而數學歸納法是一種嚴格的證明方法，一種演繹法，它的實質是“把無窮的三段論納入唯一的公式中”(龐加萊)，它得到的結論是真實可靠的.在皮亞諾提出“自然數公理”后，數學歸納法以歸納公理為理論基礎，得到了廣泛的確認和應用.而自然數中的“最小數原理”，則從反面進一步說明了數學歸納法證題的可靠性.

　　數學歸納法雖不是歸納法，但它與歸納法有著一定程度的關聯.在數學結論的發(fā)現過程中，往往先通過對大量個別事實的觀察，通過歸納形成一般性的結論，最終利用數學歸納法的證明解決問題.因此可以說論斷是以試驗性的方式發(fā)現的，而論證就像是對歸納的一個數學補充[1]，即“觀察”+“歸納”+“證明”=“發(fā)現”.

　　二、教學目標

　　1. 通過對具體問題的解決思路探尋，了解數學歸納法產生的根源及其無窮遞推的本質，在此基礎上歸納概括出數學歸納法證題的兩個步驟.

　　2. 體會數學歸納法的思想，會用數學歸納法證明一些簡單的恒等式.

　　3. 了解通過“觀察”“歸納”“證明”來發(fā)現定理的基本思路.

　　三、教學問題診斷

　　認知基礎：

　　(1) 對正整數的特點的感性認識;

　　(2) 對“無窮”的概念有一定的認識和興趣;

　　(3) 在數列的學習中對遞推思想有一定的體會;

　　(4) 在生活經驗中接觸到一些具有遞推性質的事實;

　　(5) 在“算法”循環(huán)結構的學習中有反復試用“循環(huán)體”的體會,雖然算法實現的只能是有限步的循環(huán);(如下圖)

　　(6) 了解歸納法、演繹法等推理方法以及分析法、綜合法等證明方法，具有了一定的邏輯知識的基礎.

　　難點或疑點：

　　但數學歸納法作為一種證明的方法，且不論其方法的結構形式，運用技巧，就是對其自身的可靠性，學生都有一定的疑慮，具體可能會體現在以下一些方面：

　　1.數學歸納法所要解決的是無窮多個命題P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒為真的問題，由此造學生在理解上的兩點困難：(1)對“無窮”的模糊認知和神秘感;(2)對于一個關于正整數n的命題P(n)，會難以將其看作是一個隨自變量n變化的“命題值函數”.

　　2.為什么要引進數學歸納法?驗證為何不可行?

　　3.數學歸納法的兩步驟中，對第二步的認識往往難以到位.將解決由P(k)到P(k+1)的傳遞性問題，誤解為證明P(k+1)的真實性.由此造成對證明中何以用“假設”的不理解.

　　4.數學歸納法的第二步中由k到k+1的遞推性應保證k從第一個值時的任意一個整數都能成立,由此只要第一個值成立，就能確保可以一直遞推下去.

　　5.數學歸納法中的遞推是一種無窮盡的動態(tài)過程，學生對于不斷反復地運用步驟二來進行推理的模式缺乏清晰的認知.

　　數學歸納法運用時對起點可作適當的偏移，對第二步的證明有一定的技巧，這些都可以留置下一課進行深入分析，本課側重解決對數學歸納法基本原理和兩步驟的初步理解.

　　突破的關鍵：

　　由于中學階段對數學歸納法的教學缺乏理論基礎，因此學習的關鍵是通過對具體問題的解決，提煉出方法的一般模式。在經歷問題的提出、思考的過程，通過具體的事例、直觀的模型中加以抽象概括，從而逐步加深對數學歸納法原理的理解。

　　(1) 借助遞推數列

　　遞推數列通過相鄰兩項的關系以及首項來確定數列，與數學歸納法的思想有著天然的聯系.

　　(2) 構建直觀模型

　　上圖既有多米諾骨牌的形象又有數學的形式，加上命題式的推出符號更易理解若k則k+1的遞推語句，整體上又具有流程圖的程序結構，能較好地反映出數學歸納法的本質，可以使學生的思考有較形象直觀的載體.

　　(2)重視歸納概括

　　根據遞推思想，數學歸納法的證題過程可分解為以下無窮多個步驟：

　　第一步，P(1)真;

　　第二步，P(1)真->P(2)真;

　　第三步，P(2)真->P(3)真;

　　第四步，P(3)真->P(4)真;

　　用最少的步驟可概括為

　　第一步，P(1)真;

　　第二步以后各步都可歸納為一個命題的證明：P(k)真ÞP(k+1)真;即若P(k)真，則P(k+1)真.

　　同以上兩步，就可證得對任意的正整數n,都有P(n)為真.

　　對于這種抽象概括，學生在數列的學習以及算法的學習中是有經驗的和能力的.

　　四、教學支持條件

　　對于“無窮”與“遞推”的描述，僅靠語言及符號是蒼白的，借助于一些直觀形象的符號可以更有助于學生的想象與理解.

　　五、教學過程設計

　　(一)課前準備

　　課前播放多米諾骨牌游戲的錄像，并將其類比遷移到對提問規(guī)則的制定:某個同學回答后，將話話筒傳遞給下一位同學回答問題.

　　設計意圖：一方面營造輕松的氛圍，另一方面滲透遞推思想，讓學生有感悟思想的機會.

　　(二) 方法的形成

　　問題：已知數列{an｝：，求,.

　　師生活動：

　　學生進行計算推理后，展示思考結果.

　　教師追問：

　　(1)根據遞推公式，可以由出發(fā)，推出，再由推出,由推出,說說你又是如何求得呢?

　　預設：由前四項歸納猜想.

　　(2)歸納猜想的結果并不可靠，你能否對給以嚴格的證明嗎?

　　設計意圖：學生通過對的求解，體會到只需知道某一項，就可求出其下一項的值.通過直觀的框圖式結構，可以使學生的思考有較形象直觀的載體.針對學生的回答情況，教師可進行追問：

　　問1 : 利用遞推公式，命題中的n由1可以推出2，由2可以推出3，由3可以推出4，。。。，由99可以推出100. 這樣要嚴格證明n=100結論成立，需要進行多少個步驟的論證呢?

　　第一步，;

　　第二步：; (由推)

　　第三步，; (由推)

　　第四步， ; (由推)

　　……

　　第99步，; (由推)

　　第100步，. (由推)

　　問2： 你能否只用最少的步驟就能證明這個結論呢?

　　預設：除了第一步論證之外，其余99個步驟的證明都可以概括成一個命題的證明，即轉化為對以下命題的證明：

　　若n取某一個值時結論成立，則n取其下一個值時結論也成立，即

　　若()，則. (*)

　　(.)

　　問3： 你能進一步說明命題(*)的證明對原命題的證明起到什么作用嗎?

　　問4： 有了命題(*)的證明，你能肯定嗎?你能肯定嗎?你能肯定嗎?甚至你能肯定嗎?…

　　問5：給定及命題(*)，你能推出什么結論呢?

　　預設：通過步步遞推，可以證明對任意的正整數n，結論都成立.

　　問6：試寫出此命題的證明:

　　已知數列{an｝：，求證：.

　　預設：證明:

　　(1) 當n=1時，,所以結論成立.

　　(2) 假設當n=k(kÎN*)時，結論成立，即，

　　則當n=k+1時

　　即當n=k+1時，結論也成立.

　　由(1)(2)可得，對任意的正整數n都有成立.

　　問7： 你能否總結出這一證明方法的一般模式?

　　預設：

　　一般地，證明一個與正整數n有關的命題P(n)，可按下列步驟進行：

　　(1) 證明當n=1時命題成立;

　　(2) 假設當n=k()時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.

　　則 P(1)真-> P(2)真-> P(3)真->P(4)真->P(5)真->……

　　那么，對任意的正整數n，命題P(n)都成立.

　　設計意圖：方法的提煉事實是對一種模式的提煉，通過對多米諾骨牌、課堂提問方式的滲透，以及對這一數學問題的解決過程的體驗，部分學生可能有能力對這一模式的特征進行概括.

　　問8：這種解決問題的思想方法在生活中有應用嗎?你能舉出一些例子說明嗎?

　　預設：多米諾骨牌游戲，課堂提問，傳真話，長城烽火臺的狼煙傳遞等等;

　　設計意圖：通過舉例子，讓學生進一步理解數學歸納法的原理，體會數學與現實生活之間的聯系和類比.增進對數學學習的興趣.

　　問9：對方法中的兩個步驟，你是如何理解的?

　　預設：一是歸納基礎，二是歸納遞推.兩者缺一不可。

　　數學歸納法實質上將對原問題的證明轉化為對兩個步驟的證明和判斷，由此可進行無限的循環(huán),其結構如下：

　　設計意圖：通過從不同的角度審視，更有利于學生全面地了解數學歸納法的本質.

　　(三)方法的應用

　　例1 試一試，猜一猜 證一證

　　我們都知道1+2+3+…+n=(nÎN*)，那么13+23+33+…+n3= ? .

　　預設：

　　n=1 13 =1 =12

　　n=2 13+23 =9 =32

　　n=3 13+23+33 =25 =52

　　n=4 13+23+33+43 =100 =102

　　…….

　　猜想

　　13+23+33+…+n3=

　　證明： (由學生證明，略)

　　設計意圖：通過實例，讓學生經歷歸納、猜想、證明的全過程，進一步體會數學歸納法的思想和步驟.

　　(四) 鞏固與深化

　　例2 明辨是非

　　n=n+1?

　　證明：假設n=k()時結論成立，即

　　k=k+1，

　　在等式兩邊各加上1，得

　　k+1=(k+1)+1

　　即當n=k+1時，等式也成立.

　　所以n=n+1對任意的正整數n都成立.

　　設計意圖：從反面的實例中可進一步加深對數學歸納法的兩個步驟的理解.

　　例3 (1)如果要證明命題P(n)成立，即證P(3)，P(4)，P(5)，P(6)，P(7),......都成立,根據數學歸納法的思想，你會如何證明?

　　(2)如果要證明命題P(n)(n是正偶數)成立，即證明命題P(2)，P(4)，P(6), P(8), P(10),......都成立，根據數學歸納法的思想，你會如何證明?

　　設計意圖：方法是死的，思想是活的，通過這兩個問題，使學生對數學歸納法的思想有進一步的認識.同時也可檢測學生對數學歸納法的遞推本質的理解程度.

　　(五)小結與回顧

　　(1)數學歸納法能解決哪些問題?(與正整數有關的命題的證明)

　　(2)數學歸納法的證題步驟是什么?(兩步驟一結論)

　　(3)它的核心思想是什么?(無窮遞推)

　　(4)在學習與思考中你還有哪些疑惑?

　　(5)想飛的蝸牛怎樣才能扶著天梯登上云端呢?(生：登上第一級;如果登上一級后，再努力一點，就能登上下一級.那么蝸牛就能想爬多高就能到多高.)