高三數(shù)學(xué)二次求導(dǎo)知識點
高三數(shù)學(xué)二次求導(dǎo)知識點
簡單來說，一階導(dǎo)數(shù)是自變量的變化率，二階導(dǎo)數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù)的變化率，也就是一階導(dǎo)數(shù)變化率的變化率。下面給大家?guī)硪恍╆P(guān)于高三數(shù)學(xué)二次求導(dǎo)知識點，希望對大家有所幫助。
● 高三數(shù)學(xué)二次求導(dǎo)知識點一.二階導(dǎo)數(shù)
定義
二階導(dǎo)數(shù)，是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將原函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)。一般的，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)yˊ=fˊ(x)仍然是x的函數(shù)，則y′′=f′′(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)。在圖形上，它主要表現(xiàn)函數(shù)的凹凸性。
幾何意義
1、切線斜率變化的速度，表示的是一階導(dǎo)數(shù)的變化率。
2、函數(shù)的凹凸性(例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側(cè))。
函數(shù)凹凸性
設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么，
(1)若在(a,b)內(nèi)f''(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。
(2)若在(a,b)內(nèi)f’‘(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。
●高三數(shù)學(xué)二次求導(dǎo)知識點二.一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)
簡單來說，一階導(dǎo)數(shù)是自變量的變化率，二階導(dǎo)數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù)的變化率，也就是一階導(dǎo)數(shù)變化率的變化率。連續(xù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)的切線斜率。一階導(dǎo)數(shù)大于0，則遞增;一階倒數(shù)小于0，則遞減;一階導(dǎo)數(shù)等于0，則不增不減。
而二階導(dǎo)數(shù)可以反映圖象的凹凸。二階導(dǎo)數(shù)大于0，圖象為凹;二階導(dǎo)數(shù)小于0，圖象為凸;二階導(dǎo)數(shù)等于0，不凹不凸。
結(jié)合一階、二階導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的極值。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)大于零時，為極小值點;當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)小于零時，為極大值點;當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)都等于零時，為駐點。
●高三數(shù)學(xué)二次求導(dǎo)知識點三.一次求導(dǎo)函數(shù)
1.y=c(c為常數(shù)) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
●高三數(shù)學(xué)二次求導(dǎo)知識點四.求導(dǎo)的意義
1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)：
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一5261個函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)描述了這個函數(shù)在這一點附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實數(shù)的話，函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點上的切線斜率。
導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。例如在運動學(xué)中，物體的位移對于時間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時速度。
2、幾何意義：
函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義：表示函數(shù)曲線在點P0(x0,f(x0))處的切線的斜率(導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率)。
3、作用：
導(dǎo)數(shù)與物理，幾何，代數(shù)關(guān)系密切：在幾何中可求切線;在代數(shù)中可求瞬時變化率;在物理中可求速度、加速度。
導(dǎo)數(shù)亦名紀(jì)數(shù)、微商(微分中的概念)，是由速度變化問題和曲線的切線問題(矢量速度的方向)而抽象出來的數(shù)學(xué)概念，又稱變化率。
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