黃山市九年級數學上冊期末試卷
黃山市九年級數學上冊期末試卷
期末考試是測試學生在學習中是否學到真正重要和有用的知識的必要途徑，在即將到來的九年級的數學期末考試，教師們要如何準備好的期末試卷呢?下面是學習啦小編為大家?guī)淼年P于，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
黃山市九年級數學上冊期末試卷：
一、選擇題：每題分，共30分.
1.觀察下列案，既是軸對稱形又是中心對稱形的是( )
【考點】中心對稱形;軸對稱形.
【分析】根據軸對稱形與中心對稱形的概念求解.
【解答】解：A、不是軸對稱形，是中心對稱形.故錯誤;
B、是軸對稱形，不是中心對稱形.故錯誤;
C、是軸對稱形，也是中心對稱形.故正確;
D、不是軸對稱形，也不是中心對稱形.故錯誤.
故選C.
【點評】本題考查了中心對稱形與軸對稱形的概念：軸對稱形的關鍵是尋找對稱軸，形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原重合.
2.若關于x的一元二次方程x2﹣(b﹣2)x+b﹣3=0有兩個相等的實數根，則b的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】根的判別式.
【分析】根據題意知道△=0，即(b﹣2)2﹣4(b﹣3)=0，然后化簡解得這個一元二次方程的根就可得出答案.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣(b﹣2)x+b﹣3=0有兩個相等的實數根，
∴△=(b﹣2)2﹣4(b﹣3)=b2﹣8b+16=(b﹣4)2=0，
∴b=4.
故選：D.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.
3.拋物線y=﹣ (x﹣3)2﹣5的對稱軸是直線( )
A.x=﹣3 B.x=3 C.x=5 D.x=﹣5
【考點】二次函數的性質.
【分析】本題函數式是拋物線的頂點式，可直接求頂點坐標及對稱軸.
【解答】解：∵拋物線y=﹣ (x﹣3)2﹣5是拋物線的頂點式，
根據頂點式的坐標特點，拋物線對稱軸是x=3.
故選B.
【點評】考查頂點式y=a(x﹣h)2+k，頂點坐標是(h，k)，對稱軸是x=h，要掌握頂點式的性質.
4.點A、B、P為⊙上的點，若∠APB=40°，則∠AOB等于( )
A.20° B.40° C.80° D.100°
【考點】圓周角定理.
【分析】根據圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，即可求出∠AOB的度數.
【解答】解：∵點A、B、P是⊙O上的三點，∠APB=40°，
∴∠AOB=2∠APB=2×40°=80°.
故選：C.
【點評】本題主要考查了圓周角定理;熟記在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半是解決問題的關鍵.
5.在一個不透明的布袋中裝有50個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗后發(fā)現，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有( )
A.15個 B.20個 C.30個 D.35個
【考點】利用頻率估計概率.
【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，設出未知數列出方程求解.
【解答】解：設袋中有黃球x個，由題意得 =0.3，
解得x=15，則白球可能有50﹣15=35個.
故選D.
【點評】本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率.關鍵是利用黃球的概率公式列方程求解得到黃球的個數.
6.下列函數中，象經過點( ，﹣4)的反比例函數是( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
【考點】反比例函數象上點的坐標特征.
【分析】將( ，﹣4)代入y= 即可求出k的值，則反比例函數的解析式即可求出.
【解答】解：比例系數為：﹣4× =﹣2，∴反比例函數解析式是y=﹣ .
故選D.
【點評】本題主要考查反比例函數象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數.
7.已知x=3是一元二次方程2x2+mx+15=0的一個解，則方程的另一個解是( )
A. B.﹣ C.5 D.
【考點】根與系數的關系.
【分析】設方程另一根為t，根據根與系數的關系得到3t=﹣ ，然后解一次方程即可.
【解答】解：設方程另一根為t，
根據題意得3t=﹣ ，
解得t=﹣ .
故選B.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1x2= .
8.在二次函數y=﹣x2+2x+1的象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是( )
A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1
【考點】二次函數的性質.
【專題】壓軸題.
【分析】拋物線y=﹣x2+2x+1中的對稱軸是直線x=1，開口向下，x<1時，y隨x的增大而增大.
【解答】解：∵a=﹣1<0，
∴二次函數象開口向下，
又對稱軸是直線x=1，
∴當x<1時，函數象在對稱軸的左邊，y隨x的增大增大.
故選A.
【點評】本題考查了二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的性質：當a<0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=﹣ ，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大.
9.小剛每天從家騎自行車上學都經過三個路口，且每個路口都安裝有紅燈、綠燈，假如每個路口紅燈和綠燈亮的時間相同，那么小剛從家出發(fā)去學校，他遇到兩次紅燈的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】列表法與樹狀法.
【分析】列舉出所有情況，看遇到兩次紅燈的情況占總情況的多少即可.
【解答】解：畫樹狀得：
由樹狀可知共有8種情況，遇到兩次紅燈的有3種情況，所以遇到兩次紅燈的概率是 ，
故選B.
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀法求概率.注意樹狀法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件;樹狀法適合兩步或兩步以上完成的事件;注意概率=所求情況數與總情況數之比.
10.已知a、h、k為三數，且二次函數y=a(x﹣h)2+k在坐標平面上的形通過(0，5)、(10，8)兩點.若a<0，0
A.1 B.3 C.5 D.7
【考點】二次函數象與系數的關系.
【專題】數形結合.
【分析】先畫出拋物線的大致象，根據頂點式得到拋物線的對稱軸為直線x=h，由于拋物線過(0，5)、(10，8)兩點.若a<0，010﹣h，然后解不等式后進行判斷.
【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x=h，
而(0，5)、(10，8)兩點在拋物線上，
∴h﹣0>10﹣h，解得h>5.
故選D.
【點評】本題考查了二次函數象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口;一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右;常數項c決定拋物線與y軸交點. 拋物線與y軸交于(0，c);拋物線與x軸交點個數由△決定，△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
二、填空題：每小題3分，共24分.
11.已知點M(3，﹣4)與點N關于原點O對稱，點N的坐標為 (﹣3，4) .
【考點】關于原點對稱的點的坐標.
【分析】根據兩點關于原點對稱，橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，進而得出答案.
【解答】解：∵3的相反數是﹣3，﹣4的相反數是4，
∴點M(3，﹣4)關于原點的對稱點的坐標為 (﹣3，4)，
故答案為：(﹣3，4).
【點評】此題主要考查了兩點關于原點對稱的坐標的特點：兩點關于原點對稱，兩點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，用到的知識點為：a的相反數為﹣a.
12.在半徑為12的⊙O中，60°圓心角所對的弧長是 4π .
【考點】弧長的計算.
【分析】根據弧長公式列式計算即可.
【解答】解：在半徑為12的⊙O中，60°圓心角所對的弧長是：
=4π，
故答案為4π.
【點評】本題主要考查了弧長公式：l= (弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R).注意：①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位. ②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長.
13.已知⊙O的半徑為5cm，弦CD=6cm，則圓心O到弦CD的距離是 4 cm.
【考點】垂徑定理;勾股定理.
【分析】根據題意畫出形，過點O作OE⊥CD于點E，連接OC，先根據垂徑定理求出CE的長，再由勾股定理求出OE的長即可.
【解答】解：所示，過點O作OE⊥CD于點E，連接OC，
∵弦CD=6cm，OC=5cm，
∴CE= CD=3cm，
∴OE= = =4cm.
故答案為：4.
【點評】本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.
14.某市為響應國家“厲行節(jié)約，反對浪費”號召，減少了對辦公經費的投入.2014年投入3000萬元預計2016年投入2430萬元，則該市辦公經費的年平均下降率為 10% .
【考點】一元二次方程的應用.
【專題】增長率問題.
【分析】等量關系為：2014年的投入資金×(1﹣增長率)2=2016年的投入資金，把相關數值代入計算求得合適解即可.
【解答】解：設該市辦公經費的年平均下降率為x，依題意有
3000×(1﹣x)2=2430，
解得(1﹣x)2=0.81，
∵1﹣x>0，
∴1﹣x=0.9，
∴x=10%.
答：該市辦公經費的年平均下降率為10%.
故答案為：10%.
【點評】考查一元二次方程的應用;求平均變化率的方法為：若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a(1±x)2=b.
15.二次函數y=x2﹣4x+3的象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，△ABC的面積為 3 .
【考點】二次函數綜合題;二次函數象上點的坐標特征.
【分析】由二次函數y=x2﹣4x+3求出A、B兩點的x軸坐標，再求出C點的y軸坐標，根據面積公式就解決了.
【解答】解：由表達式y=x2﹣4x+3=(x﹣1)×(x﹣3)，
則與x軸坐標為：A(1，0)，B(3，0)，
令x=0，得y=3，即C(0，3)
∴△ABC的面積為： .
【點評】此題考查二次函數和三角形的基本性質，求出三點坐標后問題就解決了.
16.在同一平面上⊙O外一點P到⊙O的距離最長為7cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為 2.5 cm.
【考點】點與圓的位置關系.
【分析】畫出形，根據形和題意得出PA的長是P到⊙O的最長距離，PB的長是P到⊙O的最短距離，求出圓的直徑，即可求出圓的半徑.
【解答】解：PA的長是P到⊙O的最長距離，PB的長是P到⊙O的最短距離，
∵圓外一點P到⊙O的最長距離為7cm，最短距離為2cm，
∴圓的直徑是7﹣2=5(cm)，
∴圓的半徑是2.5cm.
故答案為：2.5.
【點評】本題考查了點和圓的位置關系，注意：作直線PO(O為圓心)，交⊙O于A、B兩點，則得出P到⊙O的最長距離是PA長，最短距離是PB的長.
17.點A在雙曲線 上，點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為 2 .
【考點】反比例函數系數k的幾何意義.
【專題】壓軸題.
【分析】根據雙曲線的象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關系S=|k|即可判斷.
【解答】解：過A點作AE⊥y軸，垂足為E，
∵點A在雙曲線 上，
∴四邊形AEOD的面積為1，
∵點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，
∴四邊形BEOC的面積為3，
∴四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3﹣1=2.
故答案為：2.
【點評】本題主要考查了反比例函數 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經?？疾榈囊粋€知識點;這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義.
18.等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=2 ，反比例函數y= (x>0)的象分別與AB，BC交于點D，E.連結DE，當△BDE∽△BCA時，點E的坐標為 ( ， ) .
【考點】相似三角形的判定與性質;反比例函數象上點的坐標特征.
【分析】首先設點D的坐標是(m， )，點E的坐標是(n， )，應用待定系數法求出直線AB的解析式是多少;然后根據△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直線y=x與直線DE垂直，再根據點D、E關于直線y=x對稱，推得mn=3;最后根據點D在直線AB上，求出點n的值是多少，即可判斷出點E的坐標是多少.
【解答】解：1，
∵點D、E是反比例函數y= (x>0)的象上的點，
∴設點D的坐標是(m， )，點E的坐標是(n， )，
又∵∠BCA=90°，AC=BC=2 ，
∴C(n，0)，B(n，2 )，A(n﹣2 ，0)，
設直線AB的解析式是：y=ax+b，
則
解得
∴直線AB的解析式是：y=x+2 ﹣n.
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直線y=x與直線DE垂直，
∴點D、E關于直線y=x對稱，
∴ = ，
∴mn=3，或m+n=0(舍去)，
又∵點D在直線AB上，
∴ =m+2 ﹣n，mn=3，
整理，可得
2n2﹣2 n﹣3=0，
解得n= 或n=﹣ (舍去)，
∴點E的坐標是( ， ).
故答案為：( ， ).
【點評】(1)此題主要考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似;②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似;③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.
(2)此題還考查了反比例函數象上點的坐標的特征，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①象上的點(x，y)的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k;②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱;③在象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
三、解答題：共66分.
19.解方程：
(1)x2+6x﹣16=0
(2)x2+1=2 x.
【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】(1)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)移項后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可.
【解答】解：(1)x2+6x﹣16=0，
(x﹣2)(x+8)=0
x﹣2=0，x+8=0，
x1=2，x2=﹣8;
(2)x2+1=2 x，
x2﹣2 x+1=0
b2﹣4ac=(﹣2 )2﹣4×1×1=16，
x= ，
x1= +2，x2= ﹣2.
【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能選擇適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵.
20.某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD(圍墻MN最長可利用25m)現在已備足可以砌50m的墻的材料，使矩形花園的面積為300m2，試求BC的長.
【考點】一元二次方程的應用.
【專題】幾何形問題.
【分析】根據可以砌50m長的墻的材料，即總長度是50米，AB=x米，則BC=(50﹣2x)米，再根據矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可.
【解答】解：設BC的長為xm，根據題意，得
(50﹣x)x=300，
解方程，得x=20，x=30(不合題意，舍去).
所以，BC的長為20m.
答：BC的長為20m.
【點評】本題考查了一元二次方程的應用.解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系求解，注意圍墻MN最長可利用25m，舍掉不符合題意的數據.
21.⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，作∠CAD=∠B，且點D在BC延長線上.
(1)求證：AD是⊙O的切線;
(2)若AB=3，∠B=30°，求∠D的長.
【考點】切線的判定.
【專題】證明題.
【分析】(1)連接OA，由0A=OB得到∠2=∠B，根據圓周角定理，由BC是⊙O的直徑得到∠1+∠2=90°，加上∠CAD=∠B，則∠2=∠CAD，所以∠CAD+∠1=90°，然后根據切線的判定定理可得到AD是⊙O的切線;
(2)在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AC= AB= ，然后證明△ACD為等腰三角形即可得到CD的長.
【解答】(1)證明：連接OA，
∵0A=OB，
∴∠2=∠B，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90，即∠1+∠2=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠2=∠CAD，
∴∠CAD+∠1=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線;
(2)解：在Rt△ABC中，∵∠B=30，
∴AC= AB= ×3= ，
∵∠ACB=90°﹣∠B=60°，∠CAD=∠B=30°，
∴∠D=30°，
∴CD=CA= .
【點評】本題考查了切線的判定：切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.也考查了含30度的直角三角形三邊的關系.
22.在一個口袋中裝有四個完全相同的小球，它們分別寫有“美”“麗”、“黃”、“石”的文字.
(1)先從袋摸出1個球后放回，混合均勻后再摸出1個球，求兩次摸出的球上是寫有“美麗”二字的概率;
(2)先從袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球.求兩次摸出的球上寫有“黃石”二字的概率.
【考點】列表法與樹狀法.
【分析】(1)畫樹狀展示所有16種等可能的結果數，再找出兩次摸出的球上是寫有“美麗”二字的結果數，然后根據概率公式求解;
(2)畫樹狀展示所有12種等可能的結果數，再找出兩次摸出的球上寫有“黃石”二字的結果數，然后根據概率公式求解.
【解答】解：
用1、2、3、4別表示美、麗、黃、石，
(1)畫樹形如下，
由樹形可知，所有等可能的情況有16種，其中“1，2”出現的情況有2種，
∴P(美麗)= = ;
(2)畫樹狀如下，
由樹狀可知，所有等可能的情況有12種，其中出現“3，4”的情況有2種，
∴P(黃石)= = .
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件;樹狀法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
23.已知拋物線C1：y=x2+bx+c經過點A(﹣1，3)，B(3，3)
(1)求拋物線C1的表達式及頂點坐標;
(2)若拋物線C2：y=ax2(a≠0)與線段AB恰有一個公共點，求a的取值范圍.
【考點】待定系數法求二次函數解析式;二次函數的性質.
【專題】計算題.
【分析】(1)直接把A、B兩點坐標代入y=x2+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線C1的解析式，再把解析式配成頂點式可的拋物線的頂點坐標;
(2)由于AB∥x軸，把A、B兩點坐標代入y=ax2可計算出對應的a的值，然后根據拋物線C2：y=ax2(a≠0)與線段AB恰有一個公共點可確定a的范圍.
【解答】解：(1)將A(﹣1，3)、B(3，3)代入y=x+bx+c得 ，解得b=﹣2，c=0，
所以拋物線C1的解析式為y=x2﹣2x;
∵y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1
∴拋物線C1的頂點坐標為(1，﹣1);
(2)當拋物線C2恰好經過A點時，將A(﹣1，3)代入y=ax2得a=3，
當拋物線C2恰好過經過B點，將B(3，3)代入y=ax2得9a=3，解得a= ，
所以a的取值范圍為 ≤a<3.
【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解;當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解;當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.也考查了二次函數的性質.
24.九(1)班數學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表：
時間x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售價(元/件) x+40 90
每天銷量(件) 200﹣2x
已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元.
(1)求出y與x的函數關系式;
(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少?
(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元?請直接寫出結果.
【考點】二次函數的應用.
【專題】銷售問題.
【分析】(1)根據單價乘以數量，可得利潤，可得答案;
(2)根據分段函數的性質，可分別得出最大值，根據有理數的比較，可得答案;
(3)根據二次函數值大于或等于4800，一次函數值大于或等于48000，可得不等式，根據解不等式組，可得答案.
【解答】解：(1)當1≤x<50時，y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，
當50≤x≤90時，
y=(90﹣30)=﹣120x+12000，
綜上所述：y= ;
(2)當1≤x<50時，二次函數開口向下，二次函數對稱軸為x=45，
當x=45時，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
當50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，
當x=50時，y最大=6000，
綜上所述，該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元;
(3)當1≤x<50時，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利潤不低于4800元的天數是20≤x<50，共30天;
當50≤x≤90時，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利潤不低于4800元的天數是50≤x≤60，共11天，
所以該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元.
【點評】本題考查了二次函數的應用，利用單價乘以數量求函數解析式，利用了函數的性質求最值.
25.已知∠ACD=90°，MN是過A點的直線，AC=DC，DB⊥MN于點B，連接BC.
(1)1，將△BCD繞點C逆時針方向旋轉90°得到△ECA.
①求證：點E在直線MN上;
?、诓孪刖€段AB、BD、CB滿足怎樣的數量關系，并證明你的猜想.
(2)當MN繞點A旋轉到2的位置時，猜想線段AB、BD、CB又滿足怎樣的數列關系，并證明你的猜想.
【考點】旋轉的性質;全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
【分析】(1)①由四邊形內角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°，由旋轉的性質得出△ECA≌△BCD，得出∠EAC=∠BDC，因此∠CAB+∠EAC=180°，即可得出結論;
?、谧C出△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理得出BE= BC，再由BE=AE+AB，AE=BD，即可得出結論;
(2)過點C作CE⊥CB與MN交于點E，則∠ECB=90°，∠ACE=∠DCB，證出∠CAE=∠CDB，由ASA證明△ACE≌△DCB，得出AE=DB，EC=BC，證出△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理得出EB= BC，即可得出結論.
【解答】(1)①證明：∵DB⊥MN，
∴∠ABD=90°，在四邊形ACDB中，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠CAB+∠CDB=180°，
由旋轉的性質得：△ECA≌△BCD，
∴∠EAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠EAC=180°，
∴點E在直線MN上;
?、诮猓篈B+BD= BC，理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
由①知∠ECA=∠BCD，EC=BC，
∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90°，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= BC，
∵BE=AE+AB，
由①知AE=BD，
∴AB+BD= BC;
(2)解：AB﹣BD= BC，理由如下：
過點C作CE⊥CB與MN交于點E，2所示：
則∠ECB=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
∵DB⊥AB，
∴∠CAE=∠CDB，
在△ACE和△DCB中， ，
∴△ACE≌△DCB(ASA)，
∴AE=DB，EC=BC，
∴EB=AB﹣AE=AB﹣DB，△ECB為等腰直角三角形，
∴EB= BC，
∴AB﹣BD= BC.
【點評】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、四邊形內角和定理、勾股定理等知識;本題綜合性強，有一定難度，特別是(2)中，需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結果.
26.在直角坐標系中矩形OABC的頂點O與坐標原點重合.點A、C分別在坐標軸上，反比例函數y= (k>0)的象與AB、BC分別交于點E、F(E、F不與B點重合)，連接OE，OF.
(1)若B點的坐標為(4，2)，且E為AB的中點.
?、偾笏倪呅蜝EOF的面積.
?、谇笞C：F為BC的中點.
(2)猜想 與 的大小關系，并證明你的猜想.
【考點】反比例函數綜合題.
【專題】綜合題;反比例函數及其應用.
【分析】(1)①由B的坐標得到AB與BC的長，進而求出矩形OCBA的面積，由B坐標，根據E為AB中點，求出E坐標，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函數k的幾何意義求出三角形AEO與三角形OCF的面積，由矩形ABCO面積﹣三角形AOE面積﹣三角形OCF面積=四邊形BEOF面積，求出即可;②連接OB，由矩形面積求出三角形OBC面積，由三角形OCF面積得到三角形OBC面積為三角形OCF面積的2倍，而兩三角形高相同，故底BC=2CF，即F為中點，得知;
(2) = ，理由為：設B點坐標為(a，b)(a>0，b>0)，表示出A，C，E，F坐標，進而表示出AE，BE，CF，BF，分別求出 與 的值，驗證即可.
【解答】解：(1)①∵B點的坐標為(4，2)，
∴S矩形OCBA=4×2=8，
∵E為AB的中點，
∴E點的坐標為(2，2)，
∵點E、F在雙曲線上，
∴k=4，
∴S△AEO=S△FCO= k=2，
∴S四邊形BE0F=S矩形ABCO﹣S△AEO﹣S△OFC=8﹣2﹣2=4;
?、谶B接OB，
易知S△OBC= S矩形ABCO=4，
∵S△OFC=2，
∴S△OBC=2S△OFC，
∵S△OCF= S△OBC，
∴BC=2FC，
∴F為BC的中點;
(2) = ，理由為：
設B點坐標為(a，b)(a>0，b>0)，
則點A(0，b)，C(a，0)，E( ，b)，F(a， )，
∴AE=| |，BE=|a﹣ |=| |，CF=| |，BF=|b﹣ |=| |，
∴ = =| |， = =| |，
則 = .
【點評】此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：反比例函數k的幾何意義，坐標與形性質，矩形的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解本題的關鍵.
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