三角形的重心是三角形三條邊的中線的交點(diǎn)，三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等。下面小編給大家?guī)?lái)證明三角形重心判定定義，希望能幫助到大家!

證明三角形重心判定定義

1、重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍。

2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。

3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。

推論：由性質(zhì)1可知GA+GB+GC=0

向量BO與向量BF共線，故可設(shè)BO=xBF,

根據(jù)三角形加法法則：向量AO=AB+BO

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.

向量CO與向量CD共線，故可設(shè)CO=yCD,

根據(jù)三角形加法法則：向量AO=AC+CO

=b+ yCD=b+y(AD-AC)

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.

則1-x= y/2， x/2=1-y，

解得x=2/3,y=2/3.

證明三角形重心判定定理

中線定理，又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長(zhǎng)度關(guān)系。

三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方的和等于底邊的平方的一半加上這條中線的平方的2倍。

在△ABC中，AI為BC邊上的中線。求證：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?

以BC的中點(diǎn)I為原點(diǎn)，直線BC為x軸，射線IC方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(-a，0)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0)。

過(guò)A點(diǎn)做AD⊥x軸交x軸于點(diǎn)D，AE⊥y軸交y軸于點(diǎn)E，則D(m，0)，E(0，n)。

由勾股定理可得

AO?=m?+n?,

中線定理的證明

中線定理的證明

AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,

AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.

∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?

=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)

又∵AO?=m?+n?,

∴AB?+AC?=2a?+2AO?

又∵B(-a，0)，C(a，0),

∴a=BC

∴a?=BC?

∴2a?=2·BC?=BC?

∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。

證明三角形重心判定性質(zhì)

1、三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等。

2、三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心。

證明：過(guò)E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

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